[S. 9] Kriptoparalar üzerine bazı görüşler (Bölüm 1)

İşlerim dolayısıyla bloga uzun süredir yazı ekleyemiyordum. Bu sessizliği [S] serisine son zamanlarda geniş halk kitleleri arasında iyice çılgınlık haline dönüşen kriptoparalarla ilgili bir yazı ekleyerek bozmaya karar verdim. Bu blog yazısında kriptoparalarla ilgili bazı gözlem ve fikirlerimi paylaşacağım. Bu gözlem ve fikirleri doğrusal bir hikaye çizgisine oturtmak yerine, yazıyı birbiriyle kısmen ilgili çeşitli soruları cevaplayan bir derleme olarak tasarladım.

Bildiğiniz üzere okumak, hele ki uzun yazıları okumak, insanımızın sahip olduğu bir alışkanlık değil. Bu yüzden tl;dr kitlesi için kriptoparalara ilişkin fikrimi özet geçeyim:

  • Kriptoparaların üzerine kurulduğu blokzincir fikrinin teorik olarak önemli bir gelişme olduğunu düşünüyorum. Bu fikri muhtemelen ileride (para piyasası da dahil olmak üzere) pek çok yerde kullanacağız.
  • Öte yandan kriptoparaların pratikte ortaya çıkarttığı mevcut marketin bir süre sonra patlayacağını ve çok mağdur yaratacağını düşünüyorum. Bu patlamanın yakın zamanda olmasını beklemiyorum ancak kâhin değilim!
  • Bir miktar Ethereum ve NEO sahibiyim. Zira kriptoparalardaki akıllı kontrat fikrinin ileride önemli olacağını ve bu kriptoparaların fiyatının yükseleceğini düşünüyorum. (Bunu yazı altına “neye yatırım yaptın” diye soracaklar için yazdım.)
  • Hayır, sene sonunda (muhtemelen) Ethereum 20000$, Bitcoin 200000$ olmayacak. Böyle bir şey olması için gerekli şartları yazının ilgili kısmını okuduktan sonra basit bir çarpma işlemi yaparak siz de kolayca bulabilirsiniz.

tl;dr’ci tayfadan kurtulduğumuza göre şimdi yazıya geçebiliriz. Eğer kriptoparalara yatırım yaptıysanız ya da yapmayı planlıyorsanız ilk önce öğrenmeniz gereken bir şey var.

Bitcoin nasıl çalışır?

Kriptoparalar Bitcoin’den ibaret değil. Öte yandan, hepsi Bitcoin’in üzerine tasarlandığı blokzincir fikrinin çeşitlemelerini kullanıyor. Dolayısıyla, kriptoparaların nasıl çalıştığını anlamak için önce Bitcoin’in nasıl çalıştığını anlamalıyız. İnternette bunu anlatmaya teşebbüs eden pek çok kaynak var. Benim bulabildiklerim arasında Türkçe olanların hemen hepsi, yabancı olanlarınsa çoğu çöp kaynaklar. Eğer bilgisayar teknolojilerinden orijinal Bitcoin makalesini okuyacak kadar anlamıyorsanız, Bitcoin’in neden ortaya çıktığını ve çalışma prensibini anlatan, çöp olmadığını düşündüğüm şu 26 dakikalık videoyu izlemenizi önereceğim:

Yazının gerisini bu videoyu izlemeden de okuyabilirsiniz. Ancak Bitcoin’in çalışma mekanizmasını anlamadan yazının “neden yüksek miktarda paraları borsa hesaplarında tutmamalıyız” gibi kısımlarını anlayamazsınız. Bu yüzden, mevzubahis videoyu izlemenizi şiddetle öneriyorum.

Şimdi videoyu izleyenler için öğrendiklerimizi son bir kere özet geçelim: Bitcoin neden ortaya çıktı? Elektronik paralardaki çift-harcama problemini güvenli ve merkezsiz (decentralized) bir şekilde çözebilmek için. Bunu başardı mı? Evet.

Bitcoin’den sonra Bitcoin gibi pek çok kriptopara tasarlandı. Peki var olan bir şeyin orijinal varken tamamen aynı şekilde çalışan bir kopyasını yapmanın anlamı var mı? Yok. Bu yüzden ortaya çıkan diğer kriptoparaların çoğu tutmadı.

Tutanlar hangileri? Bitcoin’in üzerine tasarlandığı fikri geliştirenler, bu fikrin çeşitlemelerini yapanlar. Mesela Litecoin, ki kendisi ilk çıkan alternatif kriptoparalardan biri, Bitcoin’in neredeyse aynısı, ancak para transferleri daha hızlı. Mesela Ethereum hem hızlı, hem de kriptopara işine akıllı kontratları getirdi. Bunun sayesinde, sadece para transferi yapmakla kalmayıp gönderimize “şu kadar para gönderdim ama bu paraların üçte birini 25 gün 37 dakika geçmeden harcayamazsın” ya da “gönderdiğim paranın şu kadarını ancak şu adresteki kişinin şuraya şu kadar miktar ETH göndermesinin ardından kullanabilirsin” gibi kontratlar ekleyebiliyoruz. (Aslında Bitcoin’de de akıllı kontratlar yazılabiliyor. Öte yandan, Bitcoin’de akıllı kontrat yazmak için kullanılan dil Turing-tam bir dil olmadığından sadece basit işler yapılabilen kontratlar yazılabiliyor. Buna karşın, Ethereum’da yazacağınız kontrat hayal gücünüze ve programlama yeteneğinize kalmış.)

Demem odur ki, piyasaya çıkan bir kriptoparanın tutunabilmesi için bir tür yenilik getiriyor olması lazım. Dolayısıyla, kriptoparaların hangisi tutunabilir diye düşünüyorsanız oturup alt yapılarını, getirdikleri yenilikleri ve kullanılmayı hedefleri sektörde nasıl bir ihtiyacı karşılamayı planladıklarını anlamanız lazım.

Bizim arkadaş borsalara girip kriptoparalardan voleyi vurdu, ben de vuracağım. Borsalar güvenli mi?

Eğer Bitcoin’in nasıl çalıştığını anladıysanız, şunu fark etmişsinizdir. Sizin bir kriptoparaya sahip olmanız demek sadece ve sadece devasa bir ajandada sizin açık anahtarınıza (public key) o kriptoparaya sahip olduğunuzun yazılmış olması demek. Yani Can Numan’ın 1 BTC’ye sahip olması demek BTC blokzinciri üzerinde “Can Numan’ın 1 BTC’si var” yazması demek. Sizin birisine cüzdanınızdan para transfer etmeniz demek de açık anahtarınıza karşılık gelen özel anahtarı (private key) kullanarak ajandaya, lafın gelişi, “Can Numan 0.5 BTC’sini John von Neumann’a gönderdi” yazdırmak demek.

Peki tüm bunlar için ne gerekli? Öncelikle bahsedilen ajandaya isminizi yazdırabilmeniz yani bir açık anahtar (ve bu açık anahtara karşılık gelen özel anahtar) gerekli. Bir açık anahtar-özel anahtar ikilisi oluşturmaya da cüzdan oluşturmak deniyor. Mesela şu bir Ether cüzdanı, gördüğünüz karmaşık karakter dizisi de kullanıcının açık anahtarı. (Benim cüzdanım değil, rastgele buldum.) Her kriptopara birimi için cüzdan oluşturmanın pek çok yöntemi var. Konumuz “nasıl cüzdan oluşturulur” olmadığından cüzdan oluşturulmasıyla ilgili detayları atlıyorum.

Diyelim ki cüzdan oluşturdunuz. Peki kriptoparaya nasıl sahip olacaksınız? Halihazırda kriptoparaya sahip birisinin size bir miktar yollaması lazım ya da, eğer madenlenebilir bir kriptoparadan bahsediyorsak, madenci olmanız lazım. Diyelim ki madenci değilsiniz. Bu noktada devreye borsalar giriyor.

Bir borsada hesap açıp borsaya para yatırdıktan sonra marketten kriptopara satın alabilirsiniz. Ancak dikkatli olmanız gereken önemli bir konu var. Borsalarda hesap açıp kriptopara satın aldığınızda, borsa bu kriptoparaları sizin adınıza açtığı cüzdana gönderiyor. Gelgelelim, siz borsa cüzdanının özel anahtarına ve dolayısıyla bu cüzdanın mutlak kontrolüne sahip değilsiniz. Yarın bir gün borsanın sahibi borsa cüzdanlarındaki tüm kriptoparaları kendi cüzdanına aktarıp kaçmaya kalksa ya da bir bilgisayar korsanı borsanın sunucularını hackleyip cüzdanların içini boşaltsa yapabileceğiniz hiçbir şey yok!

Dolayısıyla, eğer borsa üzerinde sürekli al-sat yapmayı planlamıyorsanız ve sadece alım yapıp inzivaya çekilmeyi planlıyorsanız, borsa cüzdanlarında yüklü miktarda para tutmamanızı tavsiye ederim. Kriptoparalarınızı satmaya karar verdiğinizde kendi cüzdanınızdan borsa cüzdanlarına kolayca geri aktarabilirsiniz.

Öte yandan, borsa cüzdanlarından kendi oluşturduğunuz özel cüzdanlara kriptopara transfer etmek çoğunlukla (kriptopara sisteminin kendi işlem ücretine ek olarak) borsanın kendi komisyonlarına tabi olduğundan, borsada al-sat yapacaksanız eliniz mahkum kriptoparaları borsa cüzdanlarında tutacaksınız. Eğer kriptoparanızı borsa cüzdanında tutmayı planlıyorsanız, kesinlikle 2FA‘yı etkinleştirin.

Kısa yoldan zengin olmak isteyen insanların hırslarından faydalanıp insanların dolandıran nedüğü belirsiz borsalara üye olmayın. İsmi duyulmuş da olsa küçük borsalara üye olurken temkinli olun. Bir şey gerçek olabilmek için fazla iyiyse, muhtemelen gerçek değildir. Büyük borsalar çoğunlukla güvenlidir. Gene de borsalara, büyük ya da küçük, çok güvenmeyin. Bir gün onlarca BTC’nizi blokzincirin derinliklerine uçmuş olarak bulabilirsiniz. Bakınız Mt. Gox hadisesi. (Zamanının en büyük Bitcoin borsası Mt. Gox’tan çalınan BTC’lerle ilgili hazırlanmış güzel bir WordPress bloguna şuradan erişebilirsiniz.)

Borsadan kriptopara al-sat işine giriyorsanız, paranızın güvenliği açısından, riskli bir iş yaptığınızın farkında olun. Girdiğiniz borsa sahibinin dolandırıcı olabilme olasılığından borsa sunucularının güvenlik sisteminin zayıflığına, telefonunuza yanlışlıkla indirdiğiniz kötü niyetli bir yazılımdan borsa hesabınıza girerken kullandığınız bilgisayarın virüslü olmasına kadar paranızı geri dönüştürülemez bir şekilde kaybetmenizi sağlayacak pek çok faktör var. USE AT YOUR OWN RISK.

ETH sene sonunda 20000$ olacak diyorlar, sen ne diyorsun?

Yok artık LeBron James diyorum. Neden böyle dediğimi anlamak için kriptoparaların değerinin nereden geldiğini anlamamız lazım. Eğer kriptoparalar insanlar tarafından gerçekten para olarak kullanılsaydı ve günlük hayatın ekonomisine önemli ölçüde dahil olabilseydi, stabil değerlere sahip olabilirlerdi. Ancak durum böyle değil. Diyeceksiniz ki Bitcoin kabul eden bazısı ünlü pek çok internet mağazası var. Hatta Kanada Kentucky Fried Chicken da Bitcoin kabul ediyor. Doğru söylüyorsunuz.

Peki sorarım size, kriptoparalara sahip insanların ne kadarı bunları bir yatırım aracı olarak değil de para birimi olarak görüyor? İşin içerisindeki insanların çoğu kriptoparaları (klasik yatırım araçlarına göre) kısa zamanda yüksek kâr sağlayacak bir yatırım aracı olarak görüyor. Yarın bir gün amazon.com ödeme şekli olarak BTC ya da ETH ya da XRP kabul ederse, o zaman belki işler değişir; insanlar kriptoparaları borsalarda al-sat yapmak yerine günlük harcamaları için kullanmaya başlar. Böyle bir adım atılana kadar, insanların açgözlülüğü de göz önüne alınırsa, insanlar kriptoparalara para birimi olarak değil yatırım aracı olarak bakacaklar.

Bunun sonucunda, kriptoparaların değerini belirleyen tek faktör borsalardaki alım-satım fiyatları. Normal borsalarda hisse senedi alıyorsunuz diyelim. Bu hisse bir şirkete ait. Bu şirket bir üretim yapıyor, kâr ya da zarar elde ediyor. Dolayısıyla sahip olduğunuz hissenin düşmesini ya da yükselmesini etkileyen, spekülasyon dışında, somut bir üretim var. Gelgelelim, kriptoparalar için durum bu değil.

Madencilik faaliyetlerinin masraflarını bir kenara koyarsak, kriptoparaların borsalardaki değerlerinin yükselmesini ve düşmesini etkileyen tek şey talep. Talep artarsa fiyat yükseliyor, talep düşerse fiyat düşüyor. Kriptopara borsası şu an tamamen spekülasyon üzerine kurulu.

Bunun sonucunda, bir kriptoparanın değerini belirleyen şey o kriptoparaya yatırılan toplam para oluyor. Şimdi coinmarketcap.com sitesine girin. Bu site an itibariyle 8165 borsada kriptoparaların toplam hacmini gösteriyor. ETH için bu değer şu an 105 250 320 025$. Peki piyasada toplam kaç ETH dolaşıyor? 97 244 205 ETH. bu sayıları birbirine böldüğümüzde ne elde ediyoruz? 1082.33$ yani 1 ETH’nin borsalardaki ortalama değerini. Farklı borsalardaki ETH/USD değerleri (arbitrajı önlemek için) birbirinden fazla açılamaz. Makas fazla açılsa bile bir süre sonra kendiliğinden kapanacaktır. Yani rastgele seçtiğimiz bir borsada 1 ETH’nin değerinin yaklaşık olarak (ETH market cap)/(ETH sayısı) olduğunu varsayabiliriz.

Peki ETH’nin bir sene içerisinde 20000$ olması için ne lazım? ETH’nin market capinin ~1.94 trilyon$ olması lazım. Şu an tüm kriptoparaların toplam market capi ne kadar? ~550 milyar$. Bu değer büyük Bitcoin çakılmasından önce en fazla ~830 milyar$ görmüştü.

Demek ki neymiş? 1 ETH’nin 20000$ olması için, bir sene içerisinde, kriptoparalara şu an yatırılmış tüm paranın yaklaşık dört katının sadece Ethereum’a yatırılmış olması gerekir. Böyle bir şey olası mı? Uzun vadede, eğer yeterince popülerleşirse ve şirketler yatırım yaparsa, teoride evet. Pratikte, bence, hayır. Sadece karşılaştırma yapabilmeniz açısından söylüyorum. Dünyanın en büyük borsası NYSE’nin toplam market capi ~20 trilyon$. Tüm dünyadaki tüm borsaların toplam marketi capi ise ~70 trilyon$.

Demek ki neymiş? 1 BTC’nin 1 milyon dolar olması, kısa vadede, pek gerçekçi değilmiş. Çünkü böyle olabilmesi için Bitcoin’e toplam ~16 trilyon$ market cap lazım. He canım, sokaktaki insanlar varını yoğunu bu işe yatıracak, normal borsalardaki para babalarını da kriptopara borsalarında BTC’ye yatırım yapmaya ikna ettin, BTC’nin market capi dünyadaki çoğu büyük borsayı sollayarak 16 trilyon$ oldu.

Burada küçük bir not düşmek istiyorum. Market cap, yatırılan paraya eşit değildir. Zira yatırılan para, bir kriptoparanın değerini ufacık oynatsa bile market cap (fiyattaki değişim)*(sirkülasyondaki kriptopara miktarı) kadar artacaktır, ki bu sayı yatırılan paradan çok daha büyük olabilir. Öte yandan, market cap yatırılan paraya eşit değilse bile yatırılan parayla orantılı bir şekilde büyümek zorunda.

Balon ne zaman patlar?

Kriptoparaların şu anki değerleri bir ilüzyon. İnsanların açgözlülüğüne dayanarak şişen bir balon söz konusu. Ne zaman patlayacak? Kriptopara borsaları market caplerinin doğal sınırına ulaştığı zaman, yani insanlar kriptoparalara yatırım yapmayı kestiği zaman. Bu sınıra ulaşıldığında, eğer kriptoparalar gündelik hayatta kullanıma entegre olup o anki değerlerine bir karşılık bulamamış olursa, kriptoparalarının eskisi kadar hızlı değer kazanmadığını gören yatırımcı kafasındaki kriptopara sahipleri kriptoparalarını satmaya başlayacak. Domino etkisiyle tüm kriptoparaların birden yere çakılmasını izleyeceğiz. Bu noktada, fiyatlar düşerken kâr etmek amacıyla dipten toplayanlar olacak, fiyatlar tekrar yükselecek. Ardından bu döngü kendisini tekrarlamaya devam edecek. Nereye kadar? Para yatıran insanların kriptoparaların her çakılmadan sonra eskisinden daha çok yükseleceğine dair inancı kırılana kadar. Bir noktada, bu inanç yıkıldığında, fiyatlar yükselmeyi bırakacak.

Peki tüm bunlar ne zaman olacak? Bilmiyorum. Eğer bilseydim, evi arabayı bu işe gömüp blog yazılarımı Maldiv’lerdeki şahsi adamdaki bambu evimden yazmaya devam ederdim.

İkinci bir olasılık kriptopara piyasasının market cap doğal sınırlarına ulaşmadan patlaması. Daha önce de belirttiğim gibi, kriptopara marketi şu an tamamen spekülasyon üzerine dönüyor. Yakın zamanda gerçekleşmiş bir iki olayı ele alalım. Geçenlerde Güney Koreli bir bakan “kriptoparaları yasaklayacağız” dedi diye ~800 milyar$ market cap’li market bir günde 200 milyar$ kaybetti. Ondan önce coinmarketcap.com sitesi verileri listelerken Güney Kore borsalarını listelemeyi bıraktığı için toplam market cap birden düşünce insanlar panikle satmaya başladı, küçük bir çakılma yaşadık.

Yarın bir gün Kore’nin yaptığını ABD yapsa, Trump çıkıp dese ki “in order to make America great again, Bitcoins are no more” piyasa öyle bir çakılır ki bir daha toplanamaz gibime geliyor. Geçmişte de oldu böyle şeyler diyenler olacaktır. Evet, oldu. Her seferinde de market geri toparlandı. Bunun nedeni insanların kriptoparaların tekrar artacağına dair olan inancıydı; yani ortada bir kendini-gerçekleştiren kehanet var. Eğer gelişmeler bir gün geniş halk kitlelerinin kriptoparalara olan güvenini yok ederse, kendini gerçekleştirecek bir kehanet de kalmayacaktır.

Hikayemizin ana fikri, eğer kriptopara işine giriyorsanız, bilin ki büyük bir kumar oynuyorsunuz. Balonun doğal sınırlarına erişmesi dışında patlamasına sebep olabilecek pek çok faktör var. Devlet kademesinden bir spekülasyon gelmesi market capi çok kısa bir sürede %25 oynatabiliyor. Aslında spekülasyonların etkisini görmek için devlet kademesine çıkmaya bile gerek yok. “IOTA şu firmayla anlaştı, bu firmayla görüştü” diye haber yapılıp insanların gözü boyanarak spekülasyonla MIOTA fiyatı yükseltildi, sonra yere çakıldı. Yükselirken IOTA alanlar satış yapabilmek için gelecek yıl başına Noel Baba’dan IOTA’nın yükselmesini isterler artık.

Demem odur ki, kâr ettikten sonra çıkmanız gereken noktayı iyi hesaplayın. Ünlü bir Türk büyüğünün de dediği gibi, realize edilmemiş kâr, kâr değildir. Eğer herkes Şirinleri görebilecek kadar uslu çocuklar olup kriptoparaları yatırım aracı değil de para birimi olarak görseydi bunların hiçbirisi başımıza gelmeyecekti. İşte bunlar hep açgözlülük.

Kriptopara falan filan boş işler yani, öyle mi?

Hayır, öyle bir şey demiyorum. Muhtemelen ileride blokzincir fikrini pek çok teknolojik alet edavatta göreceğiz. Bunun dışında, günlük hayatta kriptopara da kullanırız muhtemelen. Peki bu kriptopara BTC mi olur?

Sanmıyorum. Devletler buna izin vermez. Zira kriptoparalar, inşa edilme şekillerine bağlı olarak, yarı-anonimlik ya da anonimlik sağlıyor. Sizce her şeyi kontrol etmeyi, e-postalarımızı okuyup, telefonlarımızı dinlemeyi seven devletler kontrol edemeyecekleri bir teknolojinin ülkeler çapında kullanılmasına izin verir mi? En iyi ihtimalle, eğer bu teknolojinin kullanışlı olduğuna kanaat getirirlerse, her devlet kendi kriptoparasını çıkartır. Burada BTC’nin kendi içerisindeki hız sorunlarına değinmedim bile. Yani mevcut kriptoparalardan birisi ileride günlük hayatta kullanılacak olsaydı bile bu, mevcut haliyle, BTC olmazdı.


Yazının ilk bölümünü şimdilik noktalayalım. Yazmak istediğim bir iki noktayı daha sonra toparlayıp yazının ikinci bölümünde yazacağım.


Son olarak, belirtme gereği duyuyorum. Matematikçiyim ancak finans sektörüyle profesyonel bir ilişkim yok, ki bunu yazdıklarımı ifade ediş şeklimden bile anlamışsınızdır belki. Buraya yazdığım şeyler tamamen kendi fikirlerim olup kimseye yatırım yapma ya da yapmama tavsiyesi niteliği taşımamaktadır. USE AT YOUR OWN RISK.

 

Reklamlar

[S. 8] “Matematik bir dildir” goygoyu üzerine (Bölüm 1)

İşlerim nedeniyle uzun süredir bloga yeni yazı ekleyememiştim. Bugün fırsatını bulduğum için uzun süredir hakkında yazmak istediğim bir konuyu ele almaya karar verdim. [S] serisinin bu yazısında sosyal medyadaki popüler bilim platformlarında git gide daha çok gözlemlemeye başladığım bir goygoyu ele alacağız. Kendisine pozitif bilimlerin matematik kullandığı söylenen geniş halk kitlelerinin ve üniversiteli yarı-entelektüel bilim sever dimağların sıklıkla dile getirmekten çekinmediği bir goygoy: Matematik bir dildir.

Pozitif bilimlerde, özellikle fizikte, ortaya konan kuramların (çoğu zaman ileri derecede matematik gerektiren) matematiksel modeller üzerine oturtulduğu, dolayısıyla da matematik disiplininin pozitif bilimlerin perspektifinden ortaya konan modeller için bir araç ve dil görevi gördüğü doğrudur. Buna kimsenin karşı çıkabileceğini sanmıyorum.

Öte yandan, eğer siz “pozitif bilimler perspektifinden matematik bir araç ve dil işlevi de görevi görür” demek yerine “matematik bir dildir” derseniz, insanlığın pozitif bilimlerden de eski olan bu kadim disiplininin doğasıyla ilgili sergilediğiniz cahillikten ötürü kemikleri sızlayan büyük matematikçi David Hilbert mezarından kalkıp kafanızda odun kırabilir, benden söylemesi!

Yazının gelişme bölümüne geçmeden önce neden “matematik bir dildir” iddiasının içi boş bir söylem olduğunu bir analoji üzerinden anlatayım.

“Matematik bir dildir” demenin “müzik bir işitsel öğedir” demekten hiçbir farkı yok. Matematik pozitif bilimler için bir dil ve araç işlevi mi görüyor? Müzik de film sektöründe eserlerin arka planını dolduran işitsel öğe işlevi görüyor. Peki “müzik filmlerde arka planı dolduran işitsel öğedir” dersem doğru bir tespit mi yapmış olurum? Hayatında sadece filmlerde müzik dinlemiş birisi için evet, eğlenmek için ya da estetik haz almak amacıyla da müzik dinlemiş birisi için hayır.

Nasıl ki Jimmy Page bestelerini bir filmde çalınmak üzere yazmadıysa, bir matematikçi de eserlerini birilerine araç olsun diye yazmak zorunda değil. Bir matematikçi bunu tercih edemez mi? Edebilir. Aynı John Williams‘ın pek çok ünlü filme beste yapmayı tercih ettiği gibi. Lakin çoğu pür matematikçinin bunu tercih etmediğini söyleyebilirim.

Matematik nedir?

Yazının bu bölümünde kendisi basit ama cevaplaması zor bir soruya odaklanalım: Matematik nedir?

Bu soruya matematiği sosyal bir uğraş olarak ele alıp tarihsel bir perspektiften cevap vermek istiyorsanız sizi matematik tarihine kaba bir bakış sağlayan şu Wikipedia sayfasına alalım. Göreceksiniz ki, bu bakış açısıyla matematik, insanların çeşitli ihtiyaçlarına cevap vermek için ortaya çıkmış, zaman içerisinde evrilip pratik kaygıların yanında felsefi kaygılarla da yapılmaya başlanmış, daha ilerleyen zamanlarda mühendislik ve pozitif bilimlerle iç içe girmiş, modern zamanlarda da hem diğer disiplinlere yardımcı olabilen hem de kendi içerisinde oluşturduğu soyut (ve çoğunlukla işe yaramaz) alanlar da barındıran bir disiplin.

Eğer matematik nedir sorusunu tarihsel perspektiften değil de, yöntemsel perspektiften yanıtlamak istiyorsanız cevap basit: Matematik, Öklit’ten beri, bir takım soyut objelerle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işidir.

(Öklit’ten önce de matematik yapılıyordu ancak aksiyomatik yöntemi belirgin olarak ortaya koyan ilk kişi Öklit’tir. Matematik dediğimiz disipline gücünü veren ve kendisini karakterize eden şey de aksiyomatik yöntemdir.)

Bu geniş tanıma karşı çıkmaya çalışmanız çok olası: Ne yani, her soyut objeyle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işi matematik midir? Evet, öyledir.

Öte yandan, sizin hakkında çıkarım yaptığınız objeler, aksiyomlarınız ve kanıtlarınız diğer insanlar için ilgi çekici değilse, yaptığınız şeye başka matematikçiler tarafından değer verilmeyeceği için, yaptığınız şey yöntemsel olarak matematik olsa bile pratikte matematik olarak yaftalanmayabilir.

Ne demek istediğimi daha iyi anlamak için tekrar müzik örneğine gidebiliriz. Müzik yapmak, yöntemsel olarak, notaları uygun şekilde yan yana dizmekten ibarettir. Öte yandan, notaları uygun şekilde yan yana dizen her kişinin yaptığı şeye müzik demeyiz. Bu noktada matematiğin (ya da benzer şekilde müziğin) ne olduğuna kesin bir sınır çizmek zor. Bir tür I know it when I see it durumu söz konusu. Bu bağlamda, sanıyorum ki neyin matematik olduğuna uzun vadede karar verecek olan matematikçi komünitesidir diyebiliriz. Her neyse, ana konuya dönelim. Ne diyorduk?

Matematik çeşitli soyut (matematiksel) objelerle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işidir. Sadece bu tanıma bakarak bile “matematik bir dildir” söyleminin neden içi boş olduğu görülebilir. Matematiği bir dil olarak görmek, matematiği uğraştığı soyut objelere, daha doğrusu, bu objelerin temsillerine indirgemektir. Öte yandan, matematik bu soyut objelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkiyi tümdengelimsel yöntemlerle bulma sürecinin kendisidir.

Euler’in teoremi

Gelin size bir hikaye anlatayım. Çizge kuramı denen matematik alanının ortaya çıkış hikayesi. Prusya‘nın Königsberg kentinde iki adayı ana karalara bağlayan yedi adet köprü varmış. Bu köprülerin kara parçalarına ve birbirlerine göre pozisyonu şu şekilde:

kon1

Nereden akıllarına geldiyse, insanlar her köprüden tam olarak bir kere geçilerek şehrin dolaşılıp dolaşılamayacağı sorusunu sormaya başlamışlar. Çeşitli denemelerden sonra böyle bir turu gerçekleştirmekte başarısız olunca, bu soruyu matematik tarihinin en mühim matematikçilerinden birisi olan Leonhard Euler‘e sormuşlar.

Euler’in bu problemi çözerken bugün çizge kuramı dediğimiz şeyin ortaya çıkmasına neden olmuş. Çizge kuramı neyle ilgilenir? Çizgelerle. Peki çizge nedir? Çizge dediğiniz şey kabaca birbirine çeşitli şekillerde bağlanmış noktalardır. Mesela aşağıdaki şekil bir çizgedir.

kon2

Bu çizgeyi Königsberg’teki köprüleri ve kara parçalarını temsil ediyor olarak düşünebiliriz. Dört mavi nokta adalar ve ana karaları, bu noktalar arasındaki bağlantılar da bu kara parçalarının birbirlerine kaç köprüyle bağlandığını temsil ediyor.

Königsberg’in köprü problemi neyi soruyor? Bu çizge üzerinde her kenar üzerinden bir kere geçerek tüm kenarlardan bir kere geçmiş olmamızı sağlayacak bir rota çizilebilir mi? Bu sorunun cevabı hayır.

Nedeni de çok basit: Diyelim ki öyle bir rota var ki her köprüden tam olarak bir kere geçebiliyoruz. Bu rota üzerinde hareket ederken, başladığımız ve bitirdiğimiz hamleler haricinde, her giriş yaptığımız mavi noktadan çıkış da yapıyoruz ve her çıkış yaptığımız mavi noktaya bir yerden giriş yapıyoruz. Demek ki, başladığımız ve bitirdiğimiz mavi noktalar haricindeki tüm mavi noktalar için, bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı çift olmalı. Peki rotamıza başladığımız ve bitirdiğimiz mavi noktalar ne olacak:

  • Eğer başladığımız ve bitirdiğimiz noktalar aynıysa, bu durumda bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı da çift olmalı.
  • Eğer başladığımız ve bitirdiğimiz noktalar farklıysa, bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı tek olmalı.

Demek ki, eğer böyle bir tur mümkün olsaydı, ya tüm noktaların bağlantılı olduğu kenar sayısı çift olmalıydı ya da bağlantılı olduğu kenar sayısı tek olan tam olarak iki tane nokta olmalıydı. Ancak Königsberg çizgesindeki tüm noktaların bağlantılı olduğu kenar sayısı, yani dereceleri, tek. Demek ki Königsberg çizgesinde böyle bir tur atılamaz.

Az önce Euler’in bir teoremini kanıtladık. Sade, şık ve zekice.

Nesneler ve aralarındaki ilişkiler

Çizgeler nerelerde kullanılıyor? Nerelerde kullanılmıyor ki?! Bilgisayar bilimi, fizik, … Çalıştığı objeler çizgelerle temsil edilebilecek ve bu çizge yapısından bilgi edinebilecek herhangi bir disiplin çizgeleri kullanabilir. Dolayısıyla denebilir ki Euler Königsberg köprüleri problemini çözerken ortaya ileride pek çok disiplinin kullanacağı bir dil ortaya koymuş, çizgelerin dili.

Peki, Euler’in amacı ortaya çizge kavramını mı koymaktı? Hayır. Çizgeler, Euler’in Königsberg köprüleri problemini gereksiz detaylardan arındırarak doğru şekilde temsil edebilemek için ortaya attığı bir yan ürün.

Peki, Euler bu yan ürünü ortaya koyduğunda mı matematik yapmış oldu? Hayır. Yukarıda sunduğumuz teoremini kanıtladığında (ortaya bir çıkarım koyduğunda) matematik yapmış oldu, ki bu süreç Königsberg köprülerini çizge olarak temsil etmesini de kapsıyor.

Matematiksel nesneler, matematiksel nesnelerdir. Matematik, bu matematiksel nesneler arasındaki ilişkileri tümdengelimsel olarak inceleme işidir.

Dolayısıyla, lafın gelişi, fizikçiler manifoldları, Hilbert uzaylarını, grupları, … kullanıyor diye matematiğe “fiziğin dilidir” gibi bir yakıştırma yaparsanız, dünyaya bir safsata kazandırmış olursunuz. Matematik, manifoldlar, Hilbert uzayları, gruplar değildir; bu nesnelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri çalışmaktır.


Yazının geri kalanında, (ideal) bir matematikçinin matematik yapma motivasyonunun bilme isteği ve estetik haz almak gibi felsefi ve sanatsal gerekçelerden kaynaklandığını anlatmayı planlıyordum. Lakin bu topa girersek bu yazıyı bitiremem. Bu yüzden, tüm bunları yazının daha sonra yazacağım ikinci bölümüne bırakalım.

C.N.

Not: İşbu yazıdaki iki resim de Wikipedia’nın Königsberg’in yedi köprüsü sayfasından alınmıştır.

[S. 7] Taklitlerimden sakınınız.

Değerli takipçiler,

Bugün fark ettim ki, birileri “Can Numan” takma adını ve hakkımda bölümündeki John von Neumann fotoğrafının aynısını kullanarak bir Facebook hesabı açmış. Söz konusu hesap şu adreste: https://www.facebook.com/ingiliz.kemal.969?fref=jewel.

Görünüşe göre hesap geçtiğimiz Ağustos ayından beri aktifmiş. Hesabı açan kişinin  amacı nedir ve neden benimle aynı takma isimle ve avatarla bir hesap açmıştır bilemiyorum. Takipçi kitleme bu kişinin ben olmadığımı belirtme gereği duydum.

Düzenleme: Bir arkadaşım hesap sahibiyle Facebook üzerinden iletişim kurmuş. İsmi çok beğendiği için kullanmak istediğini söylemiş.

C.N.

[M. 0] Beethoven, Op. 2 No. 1, Piyano Sonatı No. 1

Blogu açtığımdan beri geçen dokuz ayın ardından blogun [M] serisi yazılarına başlama vakti geldi. [M] serisine başlangıç projesi olarak seçtiğim besteci tarihin (müzikten anlayan herkesin gözünde) tartışmasız en büyük ve devrimci bestecisi Ludwig van Beethoven. Daha spesifik olarak belirtmem gerekirse, [M] serisinin ilk 32 yazısı Beethoven’ın tüm müziğinin özeti sayılabilecek 32 piyano sonatı üzerine olacak.

Beethoven’dan önce, Beethoven, Beethoven’dan sonra

Beethoven klasik batı müziği tarihinde klasik dönem ve romantik dönem arasında kalmış bir bestecidir. Çoğu kaynak Beethoven’ı klasik dönem bestecisi olarak tanımlasa da Beethoven’ın müziğinin neredeyse hepsini dinlemiş birisi olarak bu tanımlamayı müziğin “soyut içeriği” açısından uygun görmüyorum. Beethoven’ın romantik dönem bestecisi olduğunu iddia etmiyorum. Öte yandan, romantik dönem müziğini klasik dönemden ayıran anlatım gücü, ifade ve duygu derinliği bakımından Beethoven’ın romantik müziğin temellerini atan kişi olduğunu söylemekte bir sakınca görmüyorum. Bu demek değildir ki Beethoven’ın müziği romantik dönem müziği sayılmalı. Beethoven’ın yaptığı “devrimden” sonra, ardından gelen besteciler müziği bir yönde ilerletmiş ve romantik dönem müziği ortaya çıkmış. Beethoven ise, özellikle son döneminde, müziğini biraz daha farklı bir yönde ilerletmiş ve Beethoven ortaya çıkmış! Bana kalırsa, barok dönem, klasik dönem, romantik dönem vs. gereksiz sınıflandırmalar. Müziğin üç dönemi vardır: Beethoven’dan önce, Beethoven, Beethoven’dan sonra!

Eser hakkında bilgiler ve eserin yapısı

Beethoven, 21 yaşında Viyana’ya taşındığında ünlü klasik dönem bestecisi Joseph Franz Haydn‘ın öğrencisi olarak kompozisyon çalışmaya başlamıştır. Bu blog yazısının üzerine yazıldığı Op. 2 No.1 katalog numaralı birinci piyano sonatını ise 1795 yılında 25 yaşındayken yazmıştır. Eser Haydn’a ithaf edilmiştir. Beethoven, bu eseri yazdığı erken döneminde, ortaya koyduğu eserlerin fiziksel yapısı itibariyle bir klasik dönem bestecisi olarak görülebilir. Hocası Haydn’dan öğrendiklerini uyguluyor, müziği Haydn ve Mozart’ın etkisi altında, klasik dönemin normlarından pek dışarı çıkmıyor.

Öte yandan, Beethoven’ın birinci piyano sonatı, erken dönemi eseri olmasına karşın, Haydn’ın müziğinde olmayan bir ateş ve tutkuya sahip. Benzer bir durum ilk yayınlanan eserlerinden bir diğeri olan Op. 1 No.3 katalog numaralı üçüncü piyanolu üçlüsünde de görülebilir. Orta döneminde ortaya çıkacak Beethoven’ın ayak sesleri daha ilk eserlerinden hissedilebiliyor.

Şüphesiz ki bir müzikolog Beethoven’ın ilk dönemindeki fırtınalı müziğini, Mozart ve Haydn’da da görülen, Sturm und Drang yaklaşımı ile açıklamaya çalışacaktır. Hatta az önce bir müzikolog arkadaşım yazının taslağına bakarken bu akımdan bahsetmeyi unutmamamı söyledi. Lakin bu açıklama bana tatmin edici gelmiyor. Haydn efendiyi de Sturm und Drang yaparken iş başında görüyoruz ancak kendisinin eserleri bana Beethoven dinlerken yaşadığım heyecanı yaşatmıyor. Beethoven’ın müziği daha “karizmatik”.

Her neyse, eserin yapısına dönelim. Op. 2 No. 1, tonu fa minör olan ve dört bölümden oluşan bir piyano sonatı. Bölümleri sırasıyla:

  • Allegro (Fa minör)
  • Adagio (Fa majör)
  • Menuetto-Allegretto (Fa minör-Fa majör)
  • Prestissimo (Fa minör)

şeklinde. Eserin birinci bölümü klasik sonat formunda 2/2 zaman işareti ve fa minör tonunda yazılmış bir bölüm. Bölümü ölçü ölçü incelemeyeceğim. Sonat formunun ne olduğunu bilenler şu bağlantıdaki renklendirilmiş analizi inceleyebilirler. Bu bölümle ilgili söylemek istediğim şey, gelişme kısmında ve serimin tekrarının (recapitulation) ikinci yarısının yukarı bahsettiğimiz Haydn’da olmayan “Beethoven damarını” net olarak hissedebileceğiniz.

Eserin ikinci bölümü fa majör tonunda 3/4 zaman işaretiyle yazılmış bir bölüm. Kesinlikle kötü bir bölüm olduğunu düşünmemekle birlikte sonatın tamamı ele alındığında görevinin sadece eserin yavaş bölümü olmak olduğunu düşünüyorum. Eserin üçüncü bölümü Beethoven’ın ana ton fa minöre geri döndüğü bir minüet. Formu A-A’-B-B’-A-A’ şeklinde. Trio kısmında, yani B ve B’ kısmında, eserin tonu fa majöre dönüyor.  A ve A’ kısımlarındaki tematik materyal ve kullanılan dinamikler, Beethoven’ın müziğinde daha sonra çok duyacağımız “köşeli” yapıyı hissedebileceğiniz yerler. Gelelim eserin en önemli bölümü olan son bölüme.

Eserin son bölümü, sonat formunda fa minör tonunda 4/4 zaman işaretiyle yazılmış bir bölüm. Temposu prestissimo, yani tek rakibi Türk Hava Yolları! Yazının başında bahsettiğim ateşli ve tutkulu Beethoven’ın en net hissedildiği bölüm şüphesiz ki eserin bu bölümü. Bölüm, sol elde gelişme kısmına kadar neredeyse durmaksızın devam eden üçlemeler, sağ elde “haşin” akorlar ve inişler içeren bir serime sahip. Gelişme kısmında biraz sakinleşiyor ve dinleyiciye kısa bir süre nefes aldırıyor. Daha sonra, serimin tekrarıyla, fırtınalı Beethoven geri geliyor ve eser sonlanıyor.

Yazıyı sonlandırmadan önce eser hakkında daha profesyonel ve detaylı bir analiz dinlemek isteyen okuyucular için ünlü piyanist Andras Schiff tarafından verilen şu dersin bağlantısını eklemek istiyorum. Eseri notalarıyla dinleyerek incelemek isteyenler için ilgili IMSLP bağlantısı.

Dinlenmesi gereken kayıtlar

Eğer eseri ilk defa dinleyecekseniz, önerdiğim örnek kayıt Sviatoslav Richter, 1976 kaydı olacaktır. Eseri biraz hazmettikten sonra farklı yorumlar görmek için dinleyebileceğiniz aklıma gelen bazı kayıtlar şöyle:

C.N.



“Musik höhere Offenbarung ist als alle Weisheit und Philosophie.” Ludwig van Beethoven

lvbeethoven

[S. 6] Zarlarla kumar oynamak ve geçişkenlik

İşlerimden dolayı uzun bir süredir bloga yeni yazı ekleyememiştim. Bugün fırsat bulunca kısa ama ilginç bir şeyler karalamak istedim.


…daha sonra Can, hazırladığı üç zarı Numan’a gösterdi. Üç farklı renge boyanmış bu zarların üzerinde şu sayılar vardı.

Kırmızı: 2,2,4,4,9,9
Mavi: 1,1,6,6,8,8
Yeşil: 3,3,5,5,7,7

Can, ikisinin de bir zar seçeceğini ve büyük atanın kazanacağını söyledi. Kumar alışkanlığını henüz bırakamamış olan Numan zarları ilk seçimi kendisinin yapmak istediğini söyledikten sonra zarları incelemeye başladı. Can’ın iyi bir matematikçi olduğunu bilen Numan, Can tarafından bu sıradışı zarlarla kandırılmamak için kazanma olasılığı en yüksek olan zarı bulmak istiyordu.

Önce kırmızı zarı aldı. Bu zarın yüzlerinde 2,2,4,4,9,9 sayıları vardı. Diyelim ki Numan’ın kırmızı zar seçimine karşı Can yeşil zarı seçmişti. Yeşil zarın kırmızı zardan yüksek gelme olasılığı neydi?

  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 3 gelecek. Bu durumda, kırmızı zar 1/3 olasılıkla 2 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 5 gelecek. Bu durumda, kırmızı zar 2/3 olasılıkla 2 ya da 4 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 7 gelecek. Bu duruda, kırmızı zar 2/3 olasılıkla 2 ya da 4 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.

Demek ki yeşil zarın kırmızı zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.1/3+1/3.2/3+1/3.2/3=5/9.

Diyelim ki Numan yeşil zarı seçti ve Can buna karşılık mavi zarı seçti. Bu durumda, mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı ne olacak?

  • 1/3 olasılıkla mavi zar 1 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin mavi zardan daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla mavi zar 6 gelecek. Bu durumda, yeşil zar 2/3 olasılıkla 3 ya da 5 gelecek ve mavi zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla mavi zar 8 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin mavi zar daha yüksek olacak.

Demek ki mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.0+1/3.2/3+1/3.1=5/9.

Mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı 1/2’den büyük ve yeşil zarın kırmızı zardan büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Demek ki Numan mavi zarı seçmeli. Peki ya Can mavi zara karşı kırmızı zarı seçerse? Bu durumda kırmızı zarın mavi zardan yüksek gelme olasılığı ne olacak?

  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 2 gelecek. Bu durumda, mavi zar 1/3 olasılıkla 1 gelecek ve kırmızı zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 4 gelecek. Bu durumda, 1/3 olasılıkla yeşil zar 1 gelecek ve kırmızı zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 9 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin kırmızı zar daha yüksek olacak.

Demek ki kırmızı zarın mavi zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.1/3+1/3.1/3+1/3.1=5/9.

Numan bir yanlışlık yapmış olmalı. Kırmızının maviden büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük, mavinin yeşilden büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük, ancak kırmızının yeşilden büyük gelme olasılığı 1/2’den küçük!

Yaptığı hesabı tekrar kontrol eden Numan, hesapta bir yanlışlık olmadığını teyit edince az önce kanıtladığı teorem karşısında şaşkınlığını gizleyemedi.

Teorem: Öyle zar kümeleri \{A_1,A_2,\dots,A_k\} bulunabilir ki, P(A_i > A_j) sayısı i numaralı zarın j numaralı zardan yüksek gelme olasılığını göstermek üzere

P(A_1 > A_2)=P(A_2 > A_3)=\dots
\dots=P(A_{k-1} > A_k)=P(A_k > A_1)>1/2

olur.

Can’ın Numan için hazırladığı zar kümesi bu özelliğe sahip. Dolayısıyla Numan ilk zarı seçiyorsa, hangi zarı seçerse seçsin, Can kazanma olasılığını 1/2’den büyük yapacak bir zar seçebiliyor. Can’ın tasarladığı zarlar bu zar oyununda ikinci oyuncuya avantaj sağlıyor.


Bilmeyenler için hatırlatalım, bir > ikili ilişkisinin geçişken olması demek a>b ve b>c olmasının a>c olmasını gerektirmesi demek. Öte yandan her ikili ilişki geçişken olmak zorunda değil. Örneğin, yukarıdaki zar kümesi için “x zarının y zarından büyük gelme olasılığı 1/2’den büyüktür” ilişkisi bu zar kümesi üzerinde geçişken bir ilişki değil. Böyle zar kümelerine geçişken olmayan kümesi deniyor.

Sezgilerimiz şeyler arasındaki “üstünlük” ilişkisinin geçişken olması üzerine kurulu. Eğer A takımı B takımından güçlüyse ve B takımı da C takımından güçlüyse, o zaman A takımı C takımından güçlü olmalı, değil mi? Ancak yukarıdaki oyunda kırmızı zar mavi zarı “yeniyor”, mavi zar da yeşil zarı “yeniyor”, ancak kırmızı zar yeşil zarı “yenemiyor”. Aynı taş-kağıt-makas oyunundaki gibi…

İlk ortaya çıkışından beri pek çok geçişken olmayan zar kümesi keşfedilmiş durumda. Mesela Efron’un zarları denen ve yüzlerindeki sayılar

A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

olan zar kümesinde P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)=2/3 oluyor. Geçişken olmayan çeşitli zar kümesi örneklerine ilgili Wikipedia yazısından ulaşılabilir.

Bir zar atmak vs. İki zar atmak

Geçişken olmayan zar kümeleri başlı başına sezgi karşıtı şeyler. Öte yandan, ilgili olasılık hesaplarını bizzat yaptıktan sonra bu zarların yarattığı şaşkınlık hissi biraz kaybolmuş olabilir.

Bu yüzden yazının bu son bölümünde yukarıdakinden çok daha ilginç bir özelliği sağlayan bir geçişken olmayan zar kümesinden bahsedeceğiz. Yüzlerindeki sayılar aşağıdaki gibi verilmiş olan üç zarımız olsun.

A: 3 3 3 3 3 6
B: 2 2 2 5 5 5
C: 1 4 4 4 4 4

Bu durumda benzer bir hesapla x>y ile göstereceğimiz “x zarının y zarından büyük gelme olasılığı 1/2’den büyüktür” ilişkisi altında A>B>C olduğunu gösterebilirsiniz.

Şimdi her zarın sayısını ikiye çıkartalım. İki tane A zarı ve iki tane B zarı attığımızda, A>B olduğu için, A zarlarının toplamlarının B zarlarının toplamlarından büyük olmasını beklersiniz, değil mi? Değil!

Biraz daha zahmetli bir hesapla şu gösterilebilir ki iki tane A zarının toplamının iki tane B zarının toplamından küçük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Benzer şekilde iki tane B zarının toplamının iki tane C zarının toplamından küçük gelme olasılığı ve iki tane C zarının toplamının iki tane A zarının toplamından küçük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Yani bu zarlardan birer tane kullandığımızda elde ettiğimiz döngü, her zarın sayısını ikiye çıkarttığımızda tersine dönüyor.

Bu ilginç zar kümesi (ve başka geçişken olmayan zar kümeleri hakkında) şu bağlantıdaki sayfayı okuyabilirsiniz. Özellikle, Grime zarları denen beş zardan oluşan geçişken olmayan zar kümesi üzerindeki “üstünlük” haritası ve zarların sayısını ikiye çıkarttığımızda bu haritanın nasıl değiştiğini görmek bir hayli şaşırtıcı.

C.N.

 

[DM. 1] Gerçel sayıların sayılamazlığı üzerine kısa bir not

Gerçel sayılar kümesinin sayılabilir sonsuzlukta olmadığı şüphesiz ki matematiğin en temel ve en bilinen teoremlerinden birisidir. Bunun nedeni de Cantor‘un bu teoremi kanıtlarken bugün köşegen yöntemi dediğimiz ve daha nice kanıtta kullanılan dahice argümanı keşfetmiş olmasıdır.

Öte yandan, rastgele bir matematikçi çevirip gerçel sayıların sayılamaz olduğunun köşegen yöntemi kullanmayan bir kanıtını sorarsanız kolay kolay bir cevap alamayabilirsiniz. (Burada kanıtı bir şekilde köşegenleştirme fikrine dayanan teoremlerin kullanılmasını da köşegen yöntemi kullanmak olarak sayıyorum. Örneğin, Baire kategori teoremi kullanılarak gerçel sayıların sayılamazlığı kolaylıkla kanıtlanabilir ama bu teoremin standart kanıtı da köşegen yöntemi ruhuna sahip.)

Bu kısa notta gerçel sayıların sayılamaz oluşunun köşegen yöntemi ya da benzer bir fikir kullanmayan kısa bir kanıtını vereceğim. Kanıt bana ait değil, MathOverflow‘da gördüm. Beğendiğim için buraya aktarıyorum.

Teorem: \mathbb{R} kümesi sayılabilir değildir.
Kanıt: Cantor-Schröder-Bernstein teoremi kullanılarak \mathcal{P}({\mathbb{N}}) kümesinin ve dolayısıyla \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinin \mathbb{R} ile aynı kardinalitede olduğu kolayca gösterilebilir. (Bu önsav egzersiz olsun bilmeyenlere.) Dolayısıyla teoremi kanıtlamak için \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinin sayılabilir olmadığını göstermek yeterli. Şimdi \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinden ilk sayılamaz ordinal olan \omega_1 kümesine şu f fonksiyonunu inşa edelim:

Eğer A \in \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralaması değilse bu durumda f(A)=0 olsun. Eğer A \in \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralamasıysa, bu durumda f(A) bu iyi-sıralamanın bir sıralı küme olarak eş yapısal olduğu biricik sayılabilir ordinal olsun. Bu durumda f: \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) \rightarrow \omega_1 fonksiyonu örten bir fonksiyon olacaktır zira \omega_1 sayılabilir ordinallerin kümesidir ve her sayılabilir ordinal doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralamasının iyi-sıralama tipidir.

Eğer \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) sayılabilir olsaydı, bu durumda doğal sayılardan, yani \omega ordinalinden, \omega_1 ordinaline örten bir fonksiyon bulabilirdik ki böyle bir fonksiyon olmadığı ordinal sayıların temel özelliklerinden kanıtlanabilir. Demek ki gerçel sayılar kümesi sayılabilir değildir. \blacksquare.

C.N.

[S. 5] Rastgele sayı üretmek ve kâhinlik

Blogun bir sonraki yazısının müzikle ilgili olacağına söz vermiştim ancak geçen haftalarda Twitter’da bahsettiğim hoş bir problem hakkında [S] serisine kısa bir yazı eklemeden duramadım.

Bir sayı tahmin oyunu

Can rastgele iki farklı gerçel sayı seçsin ve bu sayıları iki kağıda yazsın. Numan, kağıtlarda yazan sayılara bakmadan, kağıtların birini rastgele seçsin. Can, Numan’a bu kağıtta yazan sayıyı söylesin. Numan’ın amacı, seçtiği kağıttaki sayının Can’ın yazdığı sayıların büyüğü mü küçüğü mü olduğunu tahmin etmek. Bizim amacımız Numan için bir tahmin stratejisi geliştirmek. Aşikar bir gözlemle başlayalım.

Önerme: Numan’ın doğru tahmin etme olasılığını 1/2 yapan bir strateji vardır.
Kanıt: Numan seçtiği sayının büyük sayı olduğunu söylesin. \blacksquare

Numan seçtiği kağıdı rastgele seçtiği için ve Can’ın sayıları nasıl seçtiğini bilmediği için 1/2 olasılıktan daha iyisinin yapılamayacağını düşünüyor olabilirsiniz. Ben de soruyu ilk duyduğumda böyle düşünmüştüm. Her şey çok “simetrik” gözüküyor. Ancak gerçekler böyle değilmiş.

Rastgele sayı üreterek kâhinlik yapmak

Numan verilen bir sürekli olasılık dağılımına göre rastgele sayı üretebiliyorsa, kendisinin bunu kullanarak doğru tahmin etme olasılığını artırması mümkün.

Teorem: Numan’ın doğru tahmin etme olasılığını 1/2’den daha büyük yapan bir strateji vardır.
Kanıt: Numan önce standart normal dağılıma göre rastgele bir x sayısı üretsin. (Aslında burada dağılımın normal olması çok önemli değil. Numan’ın gerçel sayıların her noktasında pozitif sürekli bir olasılık dağılımına göre rastgele sayı üretmesi yeterli.)

Eğer seçtiği kağıttaki sayı x’den büyükse, seçtiği kağıttaki sayının büyük sayı olduğunu söylesin. Eğer seçtiği kağıttaki sayı x’den küçükse, seçtiği kağıttaki sayının küçük sayı olduğunu söylesin. Eğer seçtiği kağıttaki sayı x’e eşitse, canı ne isterse onu yapsın; mesela seçtiği kağıttaki sayının büyük sayı olduğunu söylesin.

Can’ın kağıtlara yazdığı sayılar a<b olsun. Elimizdeki durumlar şunlar:

  • (x<a<b): Bu durumda Numan seçtiği kağıttaki sayının büyük sayı olduğunu söyleyecek. Dolayısıyla 1/2 olasılıkla doğru tahminde bulunacak.
  • (a<b<x): Bu durumda Numan seçtiği kağıttaki sayının küçük sayı olduğunu söyleyecek. Dolayısıyla 1/2 olasılıkla doğru tahminde bulunacak.
  • (a<x<b): Bu durumda Numan kesinlikle doğru tahminde bulunacak.
  • (a=x veya b=x): Numan’ın kullandığı dağılım noktalara sıfır olasılık atadığı için bu durumun gerçekleşme olasılığı sıfır ve az sonra yapacağımız hesaba bir etkisi olmayacak.

Demek ki Numan’ın bu stratejiyle doğru tahminde bulunma olasılığı

\frac{Pr(x<a)}{2}+\frac{Pr(b<x)}{2}+Pr(a<x<b)=

\frac{Pr(x<a)+Pr(b<x)+Pr(a<x<b)}{2}+\frac{Pr(a<x<b)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{Pr(a<x<b)}{2}

Numan’ın rastgele sayı ürettiği dağılım her noktada pozitif olduğuna göre \frac{Pr(a<x<b)}{2} pozitif bir sayı. Demek ki Numan’ın bu stratejiyle doğru tahminde bulunma olasığı 1/2’den daha büyük. \blacksquare

Bu hoş probleme şu sayfada denk geldim. Mevzubahis strateji “Pick the largest number” isimli bir sayfalık şu yazıdan. Problemin Wikipedia sayfasına şuradan ve ilgili bir MathOverflow sorusuna şuradan erişilebilir.

C.N.