[DM. 1] Gerçel sayıların sayılamazlığı üzerine kısa bir not

Gerçel sayılar kümesinin sayılabilir sonsuzlukta olmadığı şüphesiz ki matematiğin en temel ve en bilinen teoremlerinden birisidir. Bunun nedeni de Cantor‘un bu teoremi kanıtlarken bugün köşegen yöntemi dediğimiz ve daha nice kanıtta kullanılan dahice argümanı keşfetmiş olmasıdır.

Öte yandan, rastgele bir matematikçi çevirip gerçel sayıların sayılamaz olduğunun köşegen yöntemi kullanmayan bir kanıtını sorarsanız kolay kolay bir cevap alamayabilirsiniz. (Burada kanıtı bir şekilde köşegenleştirme fikrine dayanan teoremlerin kullanılmasını da köşegen yöntemi kullanmak olarak sayıyorum. Örneğin, Baire kategori teoremi kullanılarak gerçel sayıların sayılamazlığı kolaylıkla kanıtlanabilir ama bu teoremin standart kanıtı da köşegen yöntemi ruhuna sahip.)

Bu kısa notta gerçel sayıların sayılamaz oluşunun köşegen yöntemi ya da benzer bir fikir kullanmayan kısa bir kanıtını vereceğim. Kanıt bana ait değil, MathOverflow‘da gördüm. Beğendiğim için buraya aktarıyorum.

Teorem: \mathbb{R} kümesi sayılabilir değildir.
Kanıt: Cantor-Schröder-Bernstein teoremi kullanılarak \mathcal{P}({\mathbb{N}}) kümesinin ve dolayısıyla \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinin \mathbb{R} ile aynı kardinalitede olduğu kolayca gösterilebilir. (Bu önsav egzersiz olsun bilmeyenlere.) Dolayısıyla teoremi kanıtlamak için \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinin sayılabilir olmadığını göstermek yeterli. Şimdi \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinden ilk sayılamaz ordinal olan \omega_1 kümesine şu f fonksiyonunu inşa edelim:

Eğer A \in \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralaması değilse bu durumda f(A)=0 olsun. Eğer A \in \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralamasıysa, bu durumda f(A) bu iyi-sıralamanın bir sıralı küme olarak eş yapısal olduğu biricik sayılabilir ordinal olsun. Bu durumda f: \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) \rightarrow \omega_1 fonksiyonu örten bir fonksiyon olacaktır zira \omega_1 sayılabilir ordinallerin kümesidir ve her sayılabilir ordinal doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralamasının iyi-sıralama tipidir.

Eğer \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) sayılabilir olsaydı, bu durumda doğal sayılardan, yani \omega ordinalinden, \omega_1 ordinaline örten bir fonksiyon bulabilirdik ki böyle bir fonksiyon olmadığı ordinal sayıların temel özelliklerinden kanıtlanabilir. Demek ki gerçel sayılar kümesi sayılabilir değildir. \blacksquare.

C.N.

Reklamlar

[DM. 0] Gerçel sayıları iyi sıralamak

[DM] serisinin bu ilk yazısında matematikçi yoldaşlarım arasında hakkında yanlış anlaşılmalara sahip olunduğuna inandığım bir konu hakkında yazacağım: Gerçel sayıların iyi sıralamaları. Yazı [DM] serisinin bir parçası olduğu için gerekli arka planı atlayarak direkt konuya gireceğim.

İyi sıralama kavramını ilk defa öğrenen her matematik öğrencisi bir noktada sayılamaz bir kümenin bir iyi sıralamasını “görmek” istemiştir. En popüler sayılamaz küme şüphesiz ki matematiğin en temel çalışma objesi olan gerçel sayılar olduğu için bu kişiler genelde gerçel sayıları ya da aynı kardinalitede başka bir kümeyi “açık bir şekilde” iyi sıralamayı dener. Hatta bu soru bazen ders notlarında (öğrenciler tarafından çözülememek üzere atanmış) bir egzersiz olarak yerini alır.

İyi sıralama teoremi gereği her küme üzerinde bir iyi sıralama bağıntısı vardır. Bu teoremin kanıtı yapılırken de genelde ZFC belitlerinden C belitinin (yani seçim belitinin) kullanıldığı özellikle vurgulanır. Bu vurgunun nedeni şudur. Paul Cohen‘in zorlama tekniğinin bir uygulaması olarak bugün biliyoruz ki eğer ZF kümeler kuramı tutarlıysa ZF kümeler kuramının öyle modelleri vardır ki bu modellerde gerçel sayılar iyi sıralanamaz.

Yani gerçel sayıların iyi sıralanamayacağı önermesi ZF belitleri ile göreli olarak tutarlıdır. Bunun sonucunda da gerçel sayıların bir iyi sıralaması olduğu önermesi sadece ZF belitlerinden kanıtlanamaz, seçim belitinin kullanılması şarttır. Öte yandan seçim beliti ya da eş değer ifadeleri bize bu iyi sıralamanın ne olduğunu söylemez, sadece var olduğunu söyler. Bu noktada blog yazısının da ana konusu olan şu soru ortaya çıkıyor.

Gerçel sayıları ne kadar “açık bir şekilde” iyi sıralayabiliriz?

Matematik Dünyası dahil olmak üzere çeşitli yerlerde ve matematikçi yoldaşlarımla kurduğum diyaloglarda şuna benzer iddialara rastladım: Gerçel sayıların “açık bir şekilde” ifade edilmiş bir iyi sıralaması bulunamaz.

Yaygın kanının aksine bu iddia ZFC belitlerinden bağımsızdır. Tabii ki bu iddiayı matematiksel olarak değerlendirebilmek için “açık bir şekilde” ifadesiyle ne kastettiğimizi tanımlamak zorundayız. Eğer “açık bir şekilde” ile kastedilen “inşada seçim beliti ya da bundan daha güçlü bir belit kullanılmadan” ise bu iddia yukarıda da belirttiğim gibi doğrudur. Öte yandan, yazının ilerleyen bölümlerinde göreceğimiz üzere, ZFC ile göreli olarak tutarlı olan çeşitli belitler altında gerçel sayıların gayet “açık bir şekilde” ifade edilmiş iyi sıralamaları yazılabilir.

İnşa edilebilirlik beliti ve gerçel sayıları açık bir şekilde iyi sıralamak

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezinin ve seçim belitinin ZF belitlerinden bağımsız olduğu 1938’te Kurt Gödel tarafından inşa edilebilir evren kullanılarak kanıtlanmıştır.

Eğer bir küme kuramcısı değilseniz bu kavramların ne olduklarını bu yazı için öğrenmenize gerek yok. Bu yazı için bilmeniz gereken şey şu: Kümeler evreninin inşa edilebilir evrene eşit olduğunu söyleyen inşa edilebilirlik beliti, ki kendisine V=L olarak hitap edilir, ZFC belitlerinden bağımsızdır. Yani inşa edilebilirlik beliti ZFC belitleriyle ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir. Peki bu gerçel sayıları sıralamak için ne işimize yarayacak?

İnşa edilebilirlik beliti altında tüm kümeler evreninin tanımlanabilir bir iyi sıralaması vardır. Doğru duydunuz, bu belit altında çalışırsak tüm kümeler evrenini iyi sıralayabilecek kümeler kuramının dilinde bir formül yazabiliyoruz. Referans olarak [Jech03, Teorem 13.18] ya da [Kunen80, Lemma 4.4] incelenebilir.

İnşa edilebilir evreni iyi sıralayan ilgili formül Lévy hiyerarşisinde \Sigma_1 derecesine sahiptir [Jech03, Lemma 13.19]. Dolayısıyla V=L varsayımı altında bırakın gerçel sayıları tüm kümeler evrenini açık bir şekilde iyi sıralayabiliyoruz!

Tabii kümeler kuramının dilinde \Sigma_1 dereceli bir formülün yeterince “açık” bir iyi sıralama ifade etmediği konusunda itiraz gelebilir, ki bu itiraza belki hak verebilirim.

Öte yandan amacımız sadece gerçel sayıları iyi sıralamaksa bir adım daha ileri gidebiliriz. V=L beliti altında tüm kümeler evreninin tanımlanabilir iyi sıralamasını kullanarak gerçel sayıların izdüşümsel hiyerarşide \Sigma^1_2 seviyesinde, hatta \Delta^1_2 seviyesinde, bir iyi sıralamasını bulmak mümkün. Bunun için şu an bir kitaptan referans bulamadım ama neden böyle olduğunun kabaca tarifi şu MathOverflow gönderisinde yapılmış. Bunun anlamı da şu:

Eğer V=L ise standart topolojisiyle \mathbb{R}^4 uzayında öyle bir Borel küme bulunabilir ki bu kümeyi ilk üç koordinat üzerine izdüşürüp tümleyenini aldıktan sonra tekrar izdüşürerek elde ettiğimiz küme \mathbb{R} kümesi üzerinde bir iyi sıralama bağıntısıdır.

Öklit uzayındaki Borel kümeleri bu uzayın “açıkça ifade edilebilen” alt kümeleri olarak düşünebiliriz. Ne de olsa Borel bir kümeyi rasyonel koordinatlı ve yarıçaplı topları kullanarak sayılabilir adım sonunda birleşim ve tümleyen alma operasyonları altında elde edebiliyoruz.

Demek ki V=L ise gerçel sayıların “açıkça ifade edilmiş” bir iyi sıralamasını bulmak mümkün. Yaptığımız şey hepi topu Borel bir kümeyi alıp izdüşürüp tümleyenini alıp tekrar izdüşürmek!

İzdüşümsel belirlilik ve gerçel sayıları izdüşümsel olarak iyi sıralamamak

Diyelim ki gerçel sayıları ne kadar açık bir şekilde iyi sıralayabiliriz sorusundaki “açıkça ifade edilebilir” ifadesini “izdüşümsel hiyerarşide bulunmak” olarak yorumluyoruz. Bir önceki bölümde gerçel sayıların izdüşümsel hiyerarşide düşük bir seviyede yer alan bir iyi sıralaması olduğu önermesinin ZFC belitleri ile göreli olarak tutarlı olduğunu gördük.

Peki gerçel sayıların bir iyi sıralamasının izdüşümsel hiyerarşide olamayacağı önermesi ZFC belitleri ile tutarlı mı?

Öncelikle şunu belirtelim, gerçel sayıların Borel ya da \Sigma^1_1 bir iyi sıralaması olmadığı ZFC içerisinde kanıtlanabiliyor. Bunun nedeni, az sonra göreceğimiz üzere, Borel ve \Sigma^1_1 kümelerin Lebesgue ölçülebilir olması. Peki ya izdüşümsel hiyerarşinin diğer basamakları?

İzdüşümsel belirlilik beliti altında izdüşümsel kümeler Lebesgue ölçülebilirlik ve Baire özelliği düzenlilik özelliklerine sahiptir. Gerçel sayıların iyi sıralamalarının bu tarz özellikleri sağlamayan “patolojik” kümeler olmaları gerektiği de bilinen şeyler.

Teorem [Kechris95, 8.48]: S \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} gerçel sayılar üzerinde bir iyi sıralama bağıntısı olsun. Bu durumda S kümesi Baire özelliğine sahip değildir.

Gerçel sayıları iyi sıralayan bir S \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} kümesinin Lebesgue ölçülemez olduğu da Waclaw Siérpinski‘ye ait bir sonuçmuş. Orijinal makaleyi araştırmaya üşendiğim için onun yerine şu math.stackexchange gönderisini inceleyebilirsiniz. Demek ki izdüşümsel kümeler Lebesgue ölçülebilirse veya Baire özelliğine sahiplerse, gerçel sayıların izdüşümsel bir iyi sıralaması olamaz.

Peki “izdüşümsel kümeler Lebesgue ölçülebilir” önermesi ZFC ile göreli olarak tutarlı mıdır? Bu sefer iş ne yazık ki V=L durumundaki kadar basit değil. V=L önermesi ZFC’den bağımsızdır dediğimde söylediğim şey bir teorem. “İzdüşümsel kümeler Lebesgue ölçülebilir” önermesinin ZFC ile göreli olarak tutarlı olduğuna ise inanılıyor. İnanılıyor derken inanılıyor ama henüz kanıtlamadı demek istemiyorum. Durum bundan daha vahim.

Mühim insan Saharon Shelah‘nın bir teoremi der ki eğer izdüşümsel kümeler Lebesgue ölçülebilirse, inşa edilebilir evrende bir erişilemez kardinal vardır [Jech03, Teorem 32.13 ya da Shelah84]. Erişilemez kardinallerin varlığı ZFC’nin tutarlılığını gerektirdiğinden dolayı Gödel’in ikinci eksiklik teoreminin bir sonucu olarak da erişilemez bir kardinalin varlığının ZFC ile göreli tutarlı olduğu ZFC içerisinde kanıtlanamaz. Dolayısıyla “izdüşümsel kümeler Lebesgue ölçülebilirdir” önermesi ZFC’ye eklendiğinde ZFC’nin tutarlılık gücünü artıran bir önerme ve bu önermenin göreli tutarlılığı ZFC içerisinde kanıtlanamaz.

Bunlara karşın “izdüşümsel kümeler Baire özelliğine sahiptir” önermesi ZFC belitleri ile göreli olarak tutarlıdır. Dolayısıyla gerçel sayıların izdüşümsel bir iyi sıralaması olmadığı varsayımı ZFC ile göreli olarak tutarlıdır.

Gerçel sayıları iyi sıralayamamak

Yazının bir önceki bölümünde “açıkça ifade edilebilir” ifadesini izdüşümsel hiyerarşi üzerinden yorumlayarak gerçel sayıları iyi sıralama konusunda birkaç negatif sonuçtan bahsetmiştik.

Bu bölümdeyse “açıkça” ifadesini “kümeler kuramının dilinde bir formül ile ifade edilebilir” olarak yorumladığımızda elde edebileceğimiz bir negatif sonuçtan bahsedeceğiz.

Paul Cohen Fields madalyası kazanmasını sağlayan zorlama tekniğini 1963’te keşfettikten hemen sonra ünlü mantıkçı Solomon Feferman bu tekniğin bir uygulaması olarak [Feferman64] makalesini yayınlıyor. Bu makaleden birkaç gün öncesine kadar haberim yoktu. Dolayısıyla makaleyi okumadan ilgili sonucu alıntılayacağım. Kümeler kuramının dilinde gerçel sayıları iyi sıralayan iki değişkenli bir formül olmadığı ZFC (hatta ZFC+GCH) belitleriyle göreli olarak tutarlıdır. Bu sonuç V=L altında tüm kümeler evreninin tanımlanabilir bir iyi sıralaması olmasına karşıt bir sonuç olarak görülebilir.

Ne elde ettik?

Feferman’ın teoreminin bir sonucu olarak öyle bir iki değişkenli formül yazamazsınız ki bu formülün ifade ettiği bağıntının gerçel sayıları iyi sıraladığını ZFC içerisinde kanıtlayabilin. Öte yandan, V=L gibi varsayımlarla ZFC’nin ötesinde geçtiğinizde bunu yapmak mümkün.

Gerçel sayıların iyi sıralamalarını betimsel küme kuramı perspektifinden incelediğimizde karşılaştığımız şeyse gerçel sayıların Borel ya da analitik iyi sıralamaları olamayacağını ZFC’de kanıtlayabildiğimiz ve çeşitli büyük kardinal varsayımları altında bu sonucun izdüşümsel hiyerarşinin tüm basamaklarına kadar ittirilebildiği.

C.N.