[DM. 1] Gerçel sayıların sayılamazlığı üzerine kısa bir not

Gerçel sayılar kümesinin sayılabilir sonsuzlukta olmadığı şüphesiz ki matematiğin en temel ve en bilinen teoremlerinden birisidir. Bunun nedeni de Cantor‘un bu teoremi kanıtlarken bugün köşegen yöntemi dediğimiz ve daha nice kanıtta kullanılan dahice argümanı keşfetmiş olmasıdır.

Öte yandan, rastgele bir matematikçi çevirip gerçel sayıların sayılamaz olduğunun köşegen yöntemi kullanmayan bir kanıtını sorarsanız kolay kolay bir cevap alamayabilirsiniz. (Burada kanıtı bir şekilde köşegenleştirme fikrine dayanan teoremlerin kullanılmasını da köşegen yöntemi kullanmak olarak sayıyorum. Örneğin, Baire kategori teoremi kullanılarak gerçel sayıların sayılamazlığı kolaylıkla kanıtlanabilir ama bu teoremin standart kanıtı da köşegen yöntemi ruhuna sahip.)

Bu kısa notta gerçel sayıların sayılamaz oluşunun köşegen yöntemi ya da benzer bir fikir kullanmayan kısa bir kanıtını vereceğim. Kanıt bana ait değil, MathOverflow‘da gördüm. Beğendiğim için buraya aktarıyorum.

Teorem: \mathbb{R} kümesi sayılabilir değildir.
Kanıt: Cantor-Schröder-Bernstein teoremi kullanılarak \mathcal{P}({\mathbb{N}}) kümesinin ve dolayısıyla \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinin \mathbb{R} ile aynı kardinalitede olduğu kolayca gösterilebilir. (Bu önsav egzersiz olsun bilmeyenlere.) Dolayısıyla teoremi kanıtlamak için \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinin sayılabilir olmadığını göstermek yeterli. Şimdi \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) kümesinden ilk sayılamaz ordinal olan \omega_1 kümesine şu f fonksiyonunu inşa edelim:

Eğer A \in \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralaması değilse bu durumda f(A)=0 olsun. Eğer A \in \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralamasıysa, bu durumda f(A) bu iyi-sıralamanın bir sıralı küme olarak eş yapısal olduğu biricik sayılabilir ordinal olsun. Bu durumda f: \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) \rightarrow \omega_1 fonksiyonu örten bir fonksiyon olacaktır zira \omega_1 sayılabilir ordinallerin kümesidir ve her sayılabilir ordinal doğal sayıların bir alt kümesinin bir iyi-sıralamasının iyi-sıralama tipidir.

Eğer \mathcal{P}({\mathbb{N} \times \mathbb{N}}) sayılabilir olsaydı, bu durumda doğal sayılardan, yani \omega ordinalinden, \omega_1 ordinaline örten bir fonksiyon bulabilirdik ki böyle bir fonksiyon olmadığı ordinal sayıların temel özelliklerinden kanıtlanabilir. Demek ki gerçel sayılar kümesi sayılabilir değildir. \blacksquare.

C.N.

Reklamlar