[S. 6] Zarlarla kumar oynamak ve geçişkenlik

İşlerimden dolayı uzun bir süredir bloga yeni yazı ekleyememiştim. Bugün fırsat bulunca kısa ama ilginç bir şeyler karalamak istedim.


…daha sonra Can, hazırladığı üç zarı Numan’a gösterdi. Üç farklı renge boyanmış bu zarların üzerinde şu sayılar vardı.

Kırmızı: 2,2,4,4,9,9
Mavi: 1,1,6,6,8,8
Yeşil: 3,3,5,5,7,7

Can, ikisinin de bir zar seçeceğini ve büyük atanın kazanacağını söyledi. Kumar alışkanlığını henüz bırakamamış olan Numan zarları ilk seçimi kendisinin yapmak istediğini söyledikten sonra zarları incelemeye başladı. Can’ın iyi bir matematikçi olduğunu bilen Numan, Can tarafından bu sıradışı zarlarla kandırılmamak için kazanma olasılığı en yüksek olan zarı bulmak istiyordu.

Önce kırmızı zarı aldı. Bu zarın yüzlerinde 2,2,4,4,9,9 sayıları vardı. Diyelim ki Numan’ın kırmızı zar seçimine karşı Can yeşil zarı seçmişti. Yeşil zarın kırmızı zardan yüksek gelme olasılığı neydi?

  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 3 gelecek. Bu durumda, kırmızı zar 1/3 olasılıkla 2 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 5 gelecek. Bu durumda, kırmızı zar 2/3 olasılıkla 2 ya da 4 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 7 gelecek. Bu duruda, kırmızı zar 2/3 olasılıkla 2 ya da 4 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.

Demek ki yeşil zarın kırmızı zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.1/3+1/3.2/3+1/3.2/3=5/9.

Diyelim ki Numan yeşil zarı seçti ve Can buna karşılık mavi zarı seçti. Bu durumda, mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı ne olacak?

  • 1/3 olasılıkla mavi zar 1 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin mavi zardan daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla mavi zar 6 gelecek. Bu durumda, yeşil zar 2/3 olasılıkla 3 ya da 5 gelecek ve mavi zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla mavi zar 8 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin mavi zar daha yüksek olacak.

Demek ki mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.0+1/3.2/3+1/3.1=5/9.

Mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı 1/2’den büyük ve yeşil zarın kırmızı zardan büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Demek ki Numan mavi zarı seçmeli. Peki ya Can mavi zara karşı kırmızı zarı seçerse? Bu durumda kırmızı zarın mavi zardan yüksek gelme olasılığı ne olacak?

  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 2 gelecek. Bu durumda, mavi zar 1/3 olasılıkla 1 gelecek ve kırmızı zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 4 gelecek. Bu durumda, 1/3 olasılıkla yeşil zar 1 gelecek ve kırmızı zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 9 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin kırmızı zar daha yüksek olacak.

Demek ki kırmızı zarın mavi zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.1/3+1/3.1/3+1/3.1=5/9.

Numan bir yanlışlık yapmış olmalı. Kırmızının maviden büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük, mavinin yeşilden büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük, ancak kırmızının yeşilden büyük gelme olasılığı 1/2’den küçük!

Yaptığı hesabı tekrar kontrol eden Numan, hesapta bir yanlışlık olmadığını teyit edince az önce kanıtladığı teorem karşısında şaşkınlığını gizleyemedi.

Teorem: Öyle zar kümeleri \{A_1,A_2,\dots,A_k\} bulunabilir ki, P(A_i > A_j) sayısı i numaralı zarın j numaralı zardan yüksek gelme olasılığını göstermek üzere

P(A_1 > A_2)=P(A_2 > A_3)=\dots
\dots=P(A_{k-1} > A_k)=P(A_k > A_1)>1/2

olur.

Can’ın Numan için hazırladığı zar kümesi bu özelliğe sahip. Dolayısıyla Numan ilk zarı seçiyorsa, hangi zarı seçerse seçsin, Can kazanma olasılığını 1/2’den büyük yapacak bir zar seçebiliyor. Can’ın tasarladığı zarlar bu zar oyununda ikinci oyuncuya avantaj sağlıyor.


Bilmeyenler için hatırlatalım, bir > ikili ilişkisinin geçişken olması demek a>b ve b>c olmasının a>c olmasını gerektirmesi demek. Öte yandan her ikili ilişki geçişken olmak zorunda değil. Örneğin, yukarıdaki zar kümesi için “x zarının y zarından büyük gelme olasılığı 1/2’den büyüktür” ilişkisi bu zar kümesi üzerinde geçişken bir ilişki değil. Böyle zar kümelerine geçişken olmayan kümesi deniyor.

Sezgilerimiz şeyler arasındaki “üstünlük” ilişkisinin geçişken olması üzerine kurulu. Eğer A takımı B takımından güçlüyse ve B takımı da C takımından güçlüyse, o zaman A takımı C takımından güçlü olmalı, değil mi? Ancak yukarıdaki oyunda kırmızı zar mavi zarı “yeniyor”, mavi zar da yeşil zarı “yeniyor”, ancak kırmızı zar yeşil zarı “yenemiyor”. Aynı taş-kağıt-makas oyunundaki gibi…

İlk ortaya çıkışından beri pek çok geçişken olmayan zar kümesi keşfedilmiş durumda. Mesela Efron’un zarları denen ve yüzlerindeki sayılar

A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

olan zar kümesinde P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)=2/3 oluyor. Geçişken olmayan çeşitli zar kümesi örneklerine ilgili Wikipedia yazısından ulaşılabilir.

Bir zar atmak vs. İki zar atmak

Geçişken olmayan zar kümeleri başlı başına sezgi karşıtı şeyler. Öte yandan, ilgili olasılık hesaplarını bizzat yaptıktan sonra bu zarların yarattığı şaşkınlık hissi biraz kaybolmuş olabilir.

Bu yüzden yazının bu son bölümünde yukarıdakinden çok daha ilginç bir özelliği sağlayan bir geçişken olmayan zar kümesinden bahsedeceğiz. Yüzlerindeki sayılar aşağıdaki gibi verilmiş olan üç zarımız olsun.

A: 3 3 3 3 3 6
B: 2 2 2 5 5 5
C: 1 4 4 4 4 4

Bu durumda benzer bir hesapla x>y ile göstereceğimiz “x zarının y zarından büyük gelme olasılığı 1/2’den büyüktür” ilişkisi altında A>B>C olduğunu gösterebilirsiniz.

Şimdi her zarın sayısını ikiye çıkartalım. İki tane A zarı ve iki tane B zarı attığımızda, A>B olduğu için, A zarlarının toplamlarının B zarlarının toplamlarından büyük olmasını beklersiniz, değil mi? Değil!

Biraz daha zahmetli bir hesapla şu gösterilebilir ki iki tane A zarının toplamının iki tane B zarının toplamından küçük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Benzer şekilde iki tane B zarının toplamının iki tane C zarının toplamından küçük gelme olasılığı ve iki tane C zarının toplamının iki tane A zarının toplamından küçük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Yani bu zarlardan birer tane kullandığımızda elde ettiğimiz döngü, her zarın sayısını ikiye çıkarttığımızda tersine dönüyor.

Bu ilginç zar kümesi (ve başka geçişken olmayan zar kümeleri hakkında) şu bağlantıdaki sayfayı okuyabilirsiniz. Özellikle, Grime zarları denen beş zardan oluşan geçişken olmayan zar kümesi üzerindeki “üstünlük” haritası ve zarların sayısını ikiye çıkarttığımızda bu haritanın nasıl değiştiğini görmek bir hayli şaşırtıcı.

C.N.

 

Reklamlar

[S. 6] Zarlarla kumar oynamak ve geçişkenlik” üzerine 4 düşünce

  1. Bir şey sormak istiyorum. Burada bahsedilen olasılıklar, olasılığın klasik tanımına göre mi verilmiş? Diğer tanımlarda da bu tarz sezgi karşıtı cevaplara ulaşıyor muyuz?

    Beğen

    • Olasiligin klasik/diger tanimlamalarindan kastin nedir? Olasiligin farkli yorumlamalarini mi kastediyorsun?

      Oyleyse bile buradaki sonuc frequentist/Bayesian vs. yorumlama seklinden bagimsiz olarak dogru zaten. Zarlarin her yuzunun gelme olasiliginin ayni oldugunu varsayarsak ilgili olaylarin olasiliklari yukaridaki sekilde olur. Bu sonucun ne anlama geldigi sorusu icin bahsettigin yorumlamalardan birini secmek gerekiyor.

      Beğen

      • Evet, kast ettiğim oydu. Anladığım kadarıyla bu hesaplamada principle of indifference kullanılmış. Bertrand Paradoksu’nda da benzer bir sezgi karşıtı sonuç var, sebep bu ilke olabilir mi?

        Beğen

        • Zarlarin her bir yuzunun gelme olasiliginin esit (dolayisiyla 1/6) oldugunu varsayiyoruz. Hesaplamada principle of indifference demek yerine “zarlarin her yuzune ihtimal atayan dagilimin uniform oldugunu varsayiyoruz” desek daha dogru. Eger bunu principle of indifference kullanimi sayiyorsak, bildigimiz bir zarin 6 gelme olasiliginin 1/6 oldugunu soylemek icin de bu prensibi kullaniyoruz demektir, ki bu durumda bahsedilen sezgi karsiti durumun sucunu bu prensibe atmak pek makul degil sanki.

          Sonuctaki garipligin sebebinin bu prensip oldugunu sanmiyorum zira buyuk ihtimalle zarlarin yuzlerine verilen uniform olmayan baska bir olasilik dagilimi icin o dagilima gore non-transitive ustunluk iliskisi olacak tasarlamak da mumkun. Eger illa bir “suclu” arayacaksak, bence suclu insan sezgisi olmali. Zira ilgili olasilik hesaplarini bizzat yapinca bir sure sonra “evet, gayet normal ya” demeye basliyor insan.

          Beğen

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s