[S. 8] “Matematik bir dildir” goygoyu üzerine (Bölüm 1)

İşlerim nedeniyle uzun süredir bloga yeni yazı ekleyememiştim. Bugün fırsatını bulduğum için uzun süredir hakkında yazmak istediğim bir konuyu ele almaya karar verdim. [S] serisinin bu yazısında sosyal medyadaki popüler bilim platformlarında git gide daha çok gözlemlemeye başladığım bir goygoyu ele alacağız. Kendisine pozitif bilimlerin matematik kullandığı söylenen geniş halk kitlelerinin ve üniversiteli yarı-entelektüel bilim sever dimağların sıklıkla dile getirmekten çekinmediği bir goygoy: Matematik bir dildir.

Pozitif bilimlerde, özellikle fizikte, ortaya konan kuramların (çoğu zaman ileri derecede matematik gerektiren) matematiksel modeller üzerine oturtulduğu, dolayısıyla da matematik disiplininin pozitif bilimlerin perspektifinden ortaya konan modeller için bir araç ve dil görevi gördüğü doğrudur. Buna kimsenin karşı çıkabileceğini sanmıyorum.

Öte yandan, eğer siz “pozitif bilimler perspektifinden matematik bir araç ve dil işlevi de görevi görür” demek yerine “matematik bir dildir” derseniz, insanlığın pozitif bilimlerden de eski olan bu kadim disiplininin doğasıyla ilgili sergilediğiniz cahillikten ötürü kemikleri sızlayan büyük matematikçi David Hilbert mezarından kalkıp kafanızda odun kırabilir, benden söylemesi!

Yazının gelişme bölümüne geçmeden önce neden “matematik bir dildir” iddiasının içi boş bir söylem olduğunu bir analoji üzerinden anlatayım.

“Matematik bir dildir” demenin “müzik bir işitsel öğedir” demekten hiçbir farkı yok. Matematik pozitif bilimler için bir dil ve araç işlevi mi görüyor? Müzik de film sektöründe eserlerin arka planını dolduran işitsel öğe işlevi görüyor. Peki “müzik filmlerde arka planı dolduran işitsel öğedir” dersem doğru bir tespit mi yapmış olurum? Hayatında sadece filmlerde müzik dinlemiş birisi için evet, eğlenmek için ya da estetik haz almak amacıyla da müzik dinlemiş birisi için hayır.

Nasıl ki Jimmy Page bestelerini bir filmde çalınmak üzere yazmadıysa, bir matematikçi de eserlerini birilerine araç olsun diye yazmak zorunda değil. Bir matematikçi bunu tercih edemez mi? Edebilir. Aynı John Williams‘ın pek çok ünlü filme beste yapmayı tercih ettiği gibi. Lakin çoğu pür matematikçinin bunu tercih etmediğini söyleyebilirim.

Matematik nedir?

Yazının bu bölümünde kendisi basit ama cevaplaması zor bir soruya odaklanalım: Matematik nedir?

Bu soruya matematiği sosyal bir uğraş olarak ele alıp tarihsel bir perspektiften cevap vermek istiyorsanız sizi matematik tarihine kaba bir bakış sağlayan şu Wikipedia sayfasına alalım. Göreceksiniz ki, bu bakış açısıyla matematik, insanların çeşitli ihtiyaçlarına cevap vermek için ortaya çıkmış, zaman içerisinde evrilip pratik kaygıların yanında felsefi kaygılarla da yapılmaya başlanmış, daha ilerleyen zamanlarda mühendislik ve pozitif bilimlerle iç içe girmiş, modern zamanlarda da hem diğer disiplinlere yardımcı olabilen hem de kendi içerisinde oluşturduğu soyut (ve çoğunlukla işe yaramaz) alanlar da barındıran bir disiplin.

Eğer matematik nedir sorusunu tarihsel perspektiften değil de, yöntemsel perspektiften yanıtlamak istiyorsanız cevap basit: Matematik, Öklit’ten beri, bir takım soyut objelerle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işidir.

(Öklit’ten önce de matematik yapılıyordu ancak aksiyomatik yöntemi belirgin olarak ortaya koyan ilk kişi Öklit’tir. Matematik dediğimiz disipline gücünü veren ve kendisini karakterize eden şey de aksiyomatik yöntemdir.)

Bu geniş tanıma karşı çıkmaya çalışmanız çok olası: Ne yani, her soyut objeyle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işi matematik midir? Evet, öyledir.

Öte yandan, sizin hakkında çıkarım yaptığınız objeler, aksiyomlarınız ve kanıtlarınız diğer insanlar için ilgi çekici değilse, yaptığınız şeye başka matematikçiler tarafından değer verilmeyeceği için, yaptığınız şey yöntemsel olarak matematik olsa bile pratikte matematik olarak yaftalanmayabilir.

Ne demek istediğimi daha iyi anlamak için tekrar müzik örneğine gidebiliriz. Müzik yapmak, yöntemsel olarak, notaları uygun şekilde yan yana dizmekten ibarettir. Öte yandan, notaları uygun şekilde yan yana dizen her kişinin yaptığı şeye müzik demeyiz. Bu noktada matematiğin (ya da benzer şekilde müziğin) ne olduğuna kesin bir sınır çizmek zor. Bir tür I know it when I see it durumu söz konusu. Bu bağlamda, sanıyorum ki neyin matematik olduğuna uzun vadede karar verecek olan matematikçi komünitesidir diyebiliriz. Her neyse, ana konuya dönelim. Ne diyorduk?

Matematik çeşitli soyut (matematiksel) objelerle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işidir. Sadece bu tanıma bakarak bile “matematik bir dildir” söyleminin neden içi boş olduğu görülebilir. Matematiği bir dil olarak görmek, matematiği uğraştığı soyut objelere, daha doğrusu, bu objelerin temsillerine indirgemektir. Öte yandan, matematik bu soyut objelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkiyi tümdengelimsel yöntemlerle bulma sürecinin kendisidir.

Euler’in teoremi

Gelin size bir hikaye anlatayım. Çizge kuramı denen matematik alanının ortaya çıkış hikayesi. Prusya‘nın Königsberg kentinde iki adayı ana karalara bağlayan yedi adet köprü varmış. Bu köprülerin kara parçalarına ve birbirlerine göre pozisyonu şu şekilde:

kon1

Nereden akıllarına geldiyse, insanlar her köprüden tam olarak bir kere geçilerek şehrin dolaşılıp dolaşılamayacağı sorusunu sormaya başlamışlar. Çeşitli denemelerden sonra böyle bir turu gerçekleştirmekte başarısız olunca, bu soruyu matematik tarihinin en mühim matematikçilerinden birisi olan Leonhard Euler‘e sormuşlar.

Euler’in bu problemi çözerken bugün çizge kuramı dediğimiz şeyin ortaya çıkmasına neden olmuş. Çizge kuramı neyle ilgilenir? Çizgelerle. Peki çizge nedir? Çizge dediğiniz şey kabaca birbirine çeşitli şekillerde bağlanmış noktalardır. Mesela aşağıdaki şekil bir çizgedir.

kon2

Bu çizgeyi Königsberg’teki köprüleri ve kara parçalarını temsil ediyor olarak düşünebiliriz. Dört mavi nokta adalar ve ana karaları, bu noktalar arasındaki bağlantılar da bu kara parçalarının birbirlerine kaç köprüyle bağlandığını temsil ediyor.

Königsberg’in köprü problemi neyi soruyor? Bu çizge üzerinde her kenar üzerinden bir kere geçerek tüm kenarlardan bir kere geçmiş olmamızı sağlayacak bir rota çizilebilir mi? Bu sorunun cevabı hayır.

Nedeni de çok basit: Diyelim ki öyle bir rota var ki her köprüden tam olarak bir kere geçebiliyoruz. Bu rota üzerinde hareket ederken, başladığımız ve bitirdiğimiz hamleler haricinde, her giriş yaptığımız mavi noktadan çıkış da yapıyoruz ve her çıkış yaptığımız mavi noktaya bir yerden giriş yapıyoruz. Demek ki, başladığımız ve bitirdiğimiz mavi noktalar haricindeki tüm mavi noktalar için, bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı çift olmalı. Peki rotamıza başladığımız ve bitirdiğimiz mavi noktalar ne olacak:

  • Eğer başladığımız ve bitirdiğimiz noktalar aynıysa, bu durumda bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı da çift olmalı.
  • Eğer başladığımız ve bitirdiğimiz noktalar farklıysa, bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı tek olmalı.

Demek ki, eğer böyle bir tur mümkün olsaydı, ya tüm noktaların bağlantılı olduğu kenar sayısı çift olmalıydı ya da bağlantılı olduğu kenar sayısı tek olan tam olarak iki tane nokta olmalıydı. Ancak Königsberg çizgesindeki tüm noktaların bağlantılı olduğu kenar sayısı, yani dereceleri, tek. Demek ki Königsberg çizgesinde böyle bir tur atılamaz.

Az önce Euler’in bir teoremini kanıtladık. Sade, şık ve zekice.

Nesneler ve aralarındaki ilişkiler

Çizgeler nerelerde kullanılıyor? Nerelerde kullanılmıyor ki?! Bilgisayar bilimi, fizik, … Çalıştığı objeler çizgelerle temsil edilebilecek ve bu çizge yapısından bilgi edinebilecek herhangi bir disiplin çizgeleri kullanabilir. Dolayısıyla denebilir ki Euler Königsberg köprüleri problemini çözerken ortaya ileride pek çok disiplinin kullanacağı bir dil ortaya koymuş, çizgelerin dili.

Peki, Euler’in amacı ortaya çizge kavramını mı koymaktı? Hayır. Çizgeler, Euler’in Königsberg köprüleri problemini gereksiz detaylardan arındırarak doğru şekilde temsil edebilemek için ortaya attığı bir yan ürün.

Peki, Euler bu yan ürünü ortaya koyduğunda mı matematik yapmış oldu? Hayır. Yukarıda sunduğumuz teoremini kanıtladığında (ortaya bir çıkarım koyduğunda) matematik yapmış oldu, ki bu süreç Königsberg köprülerini çizge olarak temsil etmesini de kapsıyor.

Matematiksel nesneler, matematiksel nesnelerdir. Matematik, bu matematiksel nesneler arasındaki ilişkileri tümdengelimsel olarak inceleme işidir.

Dolayısıyla, lafın gelişi, fizikçiler manifoldları, Hilbert uzaylarını, grupları, … kullanıyor diye matematiğe “fiziğin dilidir” gibi bir yakıştırma yaparsanız, dünyaya bir safsata kazandırmış olursunuz. Matematik, manifoldlar, Hilbert uzayları, gruplar değildir; bu nesnelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri çalışmaktır.


Yazının geri kalanında, (ideal) bir matematikçinin matematik yapma motivasyonunun bilme isteği ve estetik haz almak gibi felsefi ve sanatsal gerekçelerden kaynaklandığını anlatmayı planlıyordum. Lakin bu topa girersek bu yazıyı bitiremem. Bu yüzden, tüm bunları yazının daha sonra yazacağım ikinci bölümüne bırakalım.

C.N.

Not: İşbu yazıdaki iki resim de Wikipedia’nın Königsberg’in yedi köprüsü sayfasından alınmıştır.
Reklamlar

[S. 7] Taklitlerimden sakınınız.

Değerli takipçiler,

Bugün fark ettim ki, birileri “Can Numan” takma adını ve hakkımda bölümündeki John von Neumann fotoğrafının aynısını kullanarak bir Facebook hesabı açmış. Söz konusu hesap şu adreste: https://www.facebook.com/ingiliz.kemal.969?fref=jewel.

Görünüşe göre hesap geçtiğimiz Ağustos ayından beri aktifmiş. Hesabı açan kişinin  amacı nedir ve neden benimle aynı takma isimle ve avatarla bir hesap açmıştır bilemiyorum. Takipçi kitleme bu kişinin ben olmadığımı belirtme gereği duydum.

Düzenleme: Bir arkadaşım hesap sahibiyle Facebook üzerinden iletişim kurmuş. İsmi çok beğendiği için kullanmak istediğini söylemiş.

C.N.

[S. 6] Zarlarla kumar oynamak ve geçişkenlik

İşlerimden dolayı uzun bir süredir bloga yeni yazı ekleyememiştim. Bugün fırsat bulunca kısa ama ilginç bir şeyler karalamak istedim.


…daha sonra Can, hazırladığı üç zarı Numan’a gösterdi. Üç farklı renge boyanmış bu zarların üzerinde şu sayılar vardı.

Kırmızı: 2,2,4,4,9,9
Mavi: 1,1,6,6,8,8
Yeşil: 3,3,5,5,7,7

Can, ikisinin de bir zar seçeceğini ve büyük atanın kazanacağını söyledi. Kumar alışkanlığını henüz bırakamamış olan Numan zarları ilk seçimi kendisinin yapmak istediğini söyledikten sonra zarları incelemeye başladı. Can’ın iyi bir matematikçi olduğunu bilen Numan, Can tarafından bu sıradışı zarlarla kandırılmamak için kazanma olasılığı en yüksek olan zarı bulmak istiyordu.

Önce kırmızı zarı aldı. Bu zarın yüzlerinde 2,2,4,4,9,9 sayıları vardı. Diyelim ki Numan’ın kırmızı zar seçimine karşı Can yeşil zarı seçmişti. Yeşil zarın kırmızı zardan yüksek gelme olasılığı neydi?

  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 3 gelecek. Bu durumda, kırmızı zar 1/3 olasılıkla 2 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 5 gelecek. Bu durumda, kırmızı zar 2/3 olasılıkla 2 ya da 4 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla yeşil zar 7 gelecek. Bu duruda, kırmızı zar 2/3 olasılıkla 2 ya da 4 gelecek ve yeşil zar daha yüksek olacak.

Demek ki yeşil zarın kırmızı zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.1/3+1/3.2/3+1/3.2/3=5/9.

Diyelim ki Numan yeşil zarı seçti ve Can buna karşılık mavi zarı seçti. Bu durumda, mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı ne olacak?

  • 1/3 olasılıkla mavi zar 1 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin mavi zardan daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla mavi zar 6 gelecek. Bu durumda, yeşil zar 2/3 olasılıkla 3 ya da 5 gelecek ve mavi zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla mavi zar 8 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin mavi zar daha yüksek olacak.

Demek ki mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.0+1/3.2/3+1/3.1=5/9.

Mavi zarın yeşil zardan yüksek gelme olasılığı 1/2’den büyük ve yeşil zarın kırmızı zardan büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Demek ki Numan mavi zarı seçmeli. Peki ya Can mavi zara karşı kırmızı zarı seçerse? Bu durumda kırmızı zarın mavi zardan yüksek gelme olasılığı ne olacak?

  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 2 gelecek. Bu durumda, mavi zar 1/3 olasılıkla 1 gelecek ve kırmızı zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 4 gelecek. Bu durumda, 1/3 olasılıkla yeşil zar 1 gelecek ve kırmızı zar daha yüksek olacak.
  • 1/3 olasılıkla kırmızı zar 9 gelecek. Bu durumda, yeşil zar ne gelirse gelsin kırmızı zar daha yüksek olacak.

Demek ki kırmızı zarın mavi zardan yüksek gelme olasılığı 1/3.1/3+1/3.1/3+1/3.1=5/9.

Numan bir yanlışlık yapmış olmalı. Kırmızının maviden büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük, mavinin yeşilden büyük gelme olasılığı 1/2’den büyük, ancak kırmızının yeşilden büyük gelme olasılığı 1/2’den küçük!

Yaptığı hesabı tekrar kontrol eden Numan, hesapta bir yanlışlık olmadığını teyit edince az önce kanıtladığı teorem karşısında şaşkınlığını gizleyemedi.

Teorem: Öyle zar kümeleri \{A_1,A_2,\dots,A_k\} bulunabilir ki, P(A_i > A_j) sayısı i numaralı zarın j numaralı zardan yüksek gelme olasılığını göstermek üzere

P(A_1 > A_2)=P(A_2 > A_3)=\dots
\dots=P(A_{k-1} > A_k)=P(A_k > A_1)>1/2

olur.

Can’ın Numan için hazırladığı zar kümesi bu özelliğe sahip. Dolayısıyla Numan ilk zarı seçiyorsa, hangi zarı seçerse seçsin, Can kazanma olasılığını 1/2’den büyük yapacak bir zar seçebiliyor. Can’ın tasarladığı zarlar bu zar oyununda ikinci oyuncuya avantaj sağlıyor.


Bilmeyenler için hatırlatalım, bir > ikili ilişkisinin geçişken olması demek a>b ve b>c olmasının a>c olmasını gerektirmesi demek. Öte yandan her ikili ilişki geçişken olmak zorunda değil. Örneğin, yukarıdaki zar kümesi için “x zarının y zarından büyük gelme olasılığı 1/2’den büyüktür” ilişkisi bu zar kümesi üzerinde geçişken bir ilişki değil. Böyle zar kümelerine geçişken olmayan kümesi deniyor.

Sezgilerimiz şeyler arasındaki “üstünlük” ilişkisinin geçişken olması üzerine kurulu. Eğer A takımı B takımından güçlüyse ve B takımı da C takımından güçlüyse, o zaman A takımı C takımından güçlü olmalı, değil mi? Ancak yukarıdaki oyunda kırmızı zar mavi zarı “yeniyor”, mavi zar da yeşil zarı “yeniyor”, ancak kırmızı zar yeşil zarı “yenemiyor”. Aynı taş-kağıt-makas oyunundaki gibi…

İlk ortaya çıkışından beri pek çok geçişken olmayan zar kümesi keşfedilmiş durumda. Mesela Efron’un zarları denen ve yüzlerindeki sayılar

A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

olan zar kümesinde P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)=2/3 oluyor. Geçişken olmayan çeşitli zar kümesi örneklerine ilgili Wikipedia yazısından ulaşılabilir.

Bir zar atmak vs. İki zar atmak

Geçişken olmayan zar kümeleri başlı başına sezgi karşıtı şeyler. Öte yandan, ilgili olasılık hesaplarını bizzat yaptıktan sonra bu zarların yarattığı şaşkınlık hissi biraz kaybolmuş olabilir.

Bu yüzden yazının bu son bölümünde yukarıdakinden çok daha ilginç bir özelliği sağlayan bir geçişken olmayan zar kümesinden bahsedeceğiz. Yüzlerindeki sayılar aşağıdaki gibi verilmiş olan üç zarımız olsun.

A: 3 3 3 3 3 6
B: 2 2 2 5 5 5
C: 1 4 4 4 4 4

Bu durumda benzer bir hesapla x>y ile göstereceğimiz “x zarının y zarından büyük gelme olasılığı 1/2’den büyüktür” ilişkisi altında A>B>C olduğunu gösterebilirsiniz.

Şimdi her zarın sayısını ikiye çıkartalım. İki tane A zarı ve iki tane B zarı attığımızda, A>B olduğu için, A zarlarının toplamlarının B zarlarının toplamlarından büyük olmasını beklersiniz, değil mi? Değil!

Biraz daha zahmetli bir hesapla şu gösterilebilir ki iki tane A zarının toplamının iki tane B zarının toplamından küçük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Benzer şekilde iki tane B zarının toplamının iki tane C zarının toplamından küçük gelme olasılığı ve iki tane C zarının toplamının iki tane A zarının toplamından küçük gelme olasılığı 1/2’den büyük. Yani bu zarlardan birer tane kullandığımızda elde ettiğimiz döngü, her zarın sayısını ikiye çıkarttığımızda tersine dönüyor.

Bu ilginç zar kümesi (ve başka geçişken olmayan zar kümeleri hakkında) şu bağlantıdaki sayfayı okuyabilirsiniz. Özellikle, Grime zarları denen beş zardan oluşan geçişken olmayan zar kümesi üzerindeki “üstünlük” haritası ve zarların sayısını ikiye çıkarttığımızda bu haritanın nasıl değiştiğini görmek bir hayli şaşırtıcı.

C.N.

 

[S. 5] Rastgele sayı üretmek ve kâhinlik

Blogun bir sonraki yazısının müzikle ilgili olacağına söz vermiştim ancak geçen haftalarda Twitter’da bahsettiğim hoş bir problem hakkında [S] serisine kısa bir yazı eklemeden duramadım.

Bir sayı tahmin oyunu

Can rastgele iki farklı gerçel sayı seçsin ve bu sayıları iki kağıda yazsın. Numan, kağıtlarda yazan sayılara bakmadan, kağıtların birini rastgele seçsin. Can, Numan’a bu kağıtta yazan sayıyı söylesin. Numan’ın amacı, seçtiği kağıttaki sayının Can’ın yazdığı sayıların büyüğü mü küçüğü mü olduğunu tahmin etmek. Bizim amacımız Numan için bir tahmin stratejisi geliştirmek. Aşikar bir gözlemle başlayalım.

Önerme: Numan’ın doğru tahmin etme olasılığını 1/2 yapan bir strateji vardır.
Kanıt: Numan seçtiği sayının büyük sayı olduğunu söylesin. \blacksquare

Numan seçtiği kağıdı rastgele seçtiği için ve Can’ın sayıları nasıl seçtiğini bilmediği için 1/2 olasılıktan daha iyisinin yapılamayacağını düşünüyor olabilirsiniz. Ben de soruyu ilk duyduğumda böyle düşünmüştüm. Her şey çok “simetrik” gözüküyor. Ancak gerçekler böyle değilmiş.

Rastgele sayı üreterek kâhinlik yapmak

Numan verilen bir sürekli olasılık dağılımına göre rastgele sayı üretebiliyorsa, kendisinin bunu kullanarak doğru tahmin etme olasılığını artırması mümkün.

Teorem: Numan’ın doğru tahmin etme olasılığını 1/2’den daha büyük yapan bir strateji vardır.
Kanıt: Numan önce standart normal dağılıma göre rastgele bir x sayısı üretsin. (Aslında burada dağılımın normal olması çok önemli değil. Numan’ın gerçel sayıların her noktasında pozitif sürekli bir olasılık dağılımına göre rastgele sayı üretmesi yeterli.)

Eğer seçtiği kağıttaki sayı x’den büyükse, seçtiği kağıttaki sayının büyük sayı olduğunu söylesin. Eğer seçtiği kağıttaki sayı x’den küçükse, seçtiği kağıttaki sayının küçük sayı olduğunu söylesin. Eğer seçtiği kağıttaki sayı x’e eşitse, canı ne isterse onu yapsın; mesela seçtiği kağıttaki sayının büyük sayı olduğunu söylesin.

Can’ın kağıtlara yazdığı sayılar a<b olsun. Elimizdeki durumlar şunlar:

  • (x<a<b): Bu durumda Numan seçtiği kağıttaki sayının büyük sayı olduğunu söyleyecek. Dolayısıyla 1/2 olasılıkla doğru tahminde bulunacak.
  • (a<b<x): Bu durumda Numan seçtiği kağıttaki sayının küçük sayı olduğunu söyleyecek. Dolayısıyla 1/2 olasılıkla doğru tahminde bulunacak.
  • (a<x<b): Bu durumda Numan kesinlikle doğru tahminde bulunacak.
  • (a=x veya b=x): Numan’ın kullandığı dağılım noktalara sıfır olasılık atadığı için bu durumun gerçekleşme olasılığı sıfır ve az sonra yapacağımız hesaba bir etkisi olmayacak.

Demek ki Numan’ın bu stratejiyle doğru tahminde bulunma olasılığı

\frac{Pr(x<a)}{2}+\frac{Pr(b<x)}{2}+Pr(a<x<b)=

\frac{Pr(x<a)+Pr(b<x)+Pr(a<x<b)}{2}+\frac{Pr(a<x<b)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{Pr(a<x<b)}{2}

Numan’ın rastgele sayı ürettiği dağılım her noktada pozitif olduğuna göre \frac{Pr(a<x<b)}{2} pozitif bir sayı. Demek ki Numan’ın bu stratejiyle doğru tahminde bulunma olasığı 1/2’den daha büyük. \blacksquare

Bu hoş probleme şu sayfada denk geldim. Mevzubahis strateji “Pick the largest number” isimli bir sayfalık şu yazıdan. Problemin Wikipedia sayfasına şuradan ve ilgili bir MathOverflow sorusuna şuradan erişilebilir.

C.N.

[S. 4] Popüler bilime neden karşıyım?

[S] serisinin bu yazısında popüler bilime tankla, topla, uçakla ve ağır sanayi hamlemle girişeceğim.

Geniş halk kitlelerini ilgilendiren konularda yazdığım yazıların çok daha fazla ziyaretçi almasını göz önünde bulundurarak kısmi provokatif başlığın bir kısım okuyucuda oluşturduğu ilk karşı çıkış dürtüsünü azaltmak adına bu yazıya neleri savunmadığımı listeleyerek başlayayım.

Bu yazıda neleri savunmuyorum?

İşbu yazıda

  • popüler bilimin (içsel olarak) faydasız veya zararlı bir uğraş olduğunu
  • bilimsel bir konuda sadece ve sadece o daldaki uzmanların yazı yazması gerektiğini
  • geniş halk kitlelerinin bilimsel konularda fikirlerini beyan etmemesi gerektiğini

savunmuyorum. Belki de şöyle düzeltmeliyim: Bu yazdıklarımı tamamen savunuyor değilim. Zira yazının geri kalanında göreceğiniz üzere bu listelediğim şeyleri çeşitli durumlarda belirli bir ölçüye kadar destekleyeceğim.

Popüler popüler bilim

Ortaokuldayken ve lisedeyken -2000’lerin ilk yıllarında- TÜBİTAK’ın popüler bilim kitaplarını çok severdim. Bir Matematikçinin Savunması, Dr. Ecco’nun Şaşırtıcı Serüvenleri, Matematiğin Aydınlık Dünyası, Matematik Sanatı, Pi Coşkusu, Bir Sayı Tut, Rastlantı ve Kaos, Bilgisayar ve Zeka ve pek çok diğer TÜBİTAK kitabını, bazen tamamen okuyarak bazen sadece anlayabildiğim kısımlarına odaklanarak elden geçirmişliğim çoktur. Bu popüler bilim kitapları zamanında bana sadece bir şeyler öğretmemiş aynı zamanda beni daha çok şey araştırmaya motive etmiştir. Popüler bilim kavramının içsel olarak zararlı bir yanı olduğunu düşünmüyorum zira kendim popüler bilim ürünlerinden fayda sağlayabildim. Peki o zaman neden böyle bir yazı kaleme alıyorum?

Takdir edersiniz ki son yirmi senede insanların internete ve bilgiye erişimi çok kolaylaştı. Bunun sonucunda da ortalama bir bireyin bilgi ve kültür miktarında artış olması gerekiyor, değil mi?

Değil. Çünkü insanların sadece doğru ve kaliteli bilgiye erişimi kolaylaşmadı, aynı zamanda yüzeysel ve çerçöp bilgiye erişimi de kolaylaştı. Çocukluğumda “popüler bilim” kaynağı aradığımda eriştiğim kaynakların kalitesiyle bugün internette dolanan çerçöp sitelerin ve gazetelerdeki bilim köşelerinin kalitesi arasında dağlar kadar fark var. Bu noktada popüler bilime eleştirilerimden ilkine geliyoruz: Popüler popüler bilim yapılması.

Yukarıda saydığım kitapların yazarlarına bakın. Aralarında David Ruelle ve Roger Penrose gibi insanlar var. Bu insanlar belirli bir akademik kalite ve dürüstlüğe sahip kişiler. Bir şeyler yazdıklarında ilgili kaynakları veriyorlar, yazdıkları şeyi basitleştirirken -her zaman mümkün olmasa da- özünden koparmamaya çalışıyorlar. Yazdıkları yazılar bir bütünlük teşkil ediyor. Çünkü insanlara bir şeyi öğretmeyi amaçlıyorlar. Kimse beni Penrose’un Kral’ın Yeni Usu kitabını yazarken tribünlere oynama amacı olduğuna inandıramaz çünkü ortaya koyduğu üründe belirli kalite standartlarından taviz verilmiyor.

Öte yandan, bugün bir kitabevine gidip bilim bölümüne baktığımda sayfalarını karıştırdığım kitapların hatırısayılır bir kısmı popüler bilim için popüler bilim felsefesi gütmüş kitaplar gibi gözüküyor, halka bir şeyler öğretmek için popüler bilim değil. Özellikle internet kaynaklarının bu problemden muzdarip olduğunu düşünüyorum. Bunun nedeni de bu kaynakların ana amaçlarının insanlara basitleştirerek bilim öğretmek değil sitelerine tıklama almak olması.

Geniş halk kitlesi tembel. Geniş halk kitlesi zihnini kullanmayı pek sevmiyor. Geniş halk kitlesinin önüne okuyucuyu zorlayan bir yazı konulduğunda istenilen ilgiyi göremeyecek. Dolayısıyla ana amacı daha çok okunmak olan kaynaklar da haliyle geniş halk kitlesini kendi seviyesine çıkartmak yerine kendisi geniş halk kitlesinin seviyesine inmeyi tercih ediyor. Bu yaklaşımın bir sonucu olarak da popüler popüler bilim diye hitap ettiğim yüzeysel ve içerikten yoksun popüler bilim ortaya çıkıyor.

Basitleştirmek vs. Yanlış Bilgilendirmek

Popüler bilim, tanımı gereği popüler olması gerektiğinden, çeşitli bilimsel konuları bu konularda teknik bilgisi olmayan insanlara anlatmaya çalışan bir uğraş. Bunu yapabilmek için hakkında yazılacak bilimsel konunun teknik detaylarını olabildiğince basitleştirmesi lazım.

Öte yandan teknik bir konuyu basitleştirmek ve yanlış bilgilendirmek arasındaki çizgi çok ince. Öyle ince ki, bu basitleştirme işlemi ilgili konu üzerine uzman bir kişi tarafından yapılmadığı zaman basitleştirmenin yanlış bilgilendirmeye dönüşmesi işten bile değil. Bu noktada popüler bilime eleştirilerimin ikincisine geliyoruz: Popüler bilimde şeylerin basitleştirilirken özünden koparılması ve yanlış bilgilendirme.

Gelin ne demek istediğimi bir örnek üzerinden göstereyim. Açık Bilim‘deki şu yazıyı ele alalım. Yazıya eleştiri yapmadan önce belirteyim, ne Açık Bilim ile ne de yazıyı yazan konuk yazar ile bir problemim var. Hakkında fikir beyan edecek kadar uzman olduğum ve çeşitli nedenlerle felsefeciler arasında popüler olduğunu bildiğim bir konu olan Gödel’in eksiklik teoremi ilgili Türkçe popüler bilim kaynaklarında ne yazılmış bakmak için bir Google araması yaptım. Karşıma bu gelince örnek olarak kullanmaktan çekinmedim.

Bu yazıda pek çok bilgi hatası var. Berber paradoksu ve Russell paradoksunun aynı şey olmaması gibi önemsiz (ve terminolojik) hataları bir kenara bırakalım, Gödel’in teoremi olarak ifade edilen şeyler yanlış. “Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksik” olmak zorunda değil. Doğrusu şu şekilde olacak: Eğer mevzubahis aksiyomatik sistem özyinelemeli (daha genel olarak özyinelemeli listelenebilir) aksiyomlara sahipse, Peano aritmetiğini içeriyorsa (aslında Robinson aritmetiği gibi daha güçsüz bir sistem de yeterli) ve tutarlı ise, o zaman eksik olmak zorunda. Eğer aksiyom kümenizin Turing derecesi sizin umrunuzda değilse, aritmetiği içeren tam ve tutarlı aksiyom sistemleri bulmak pek zor değil. (Emin olun ilgili teoremin şu ifade ettiğim hali bile bir matematikçi olarak içime tam sinmiyor. Zira içerisinde çalıştığımız mantık sisteminin detaylarından, kanıt sisteminden ve ilgili aksiyomatik sistemin aritmetiği “içermesinin” ne olduğundan detaylı bir şekilde bahsedilmeden Gödel’in teoremi hakkında konuşulmamalı.)

Yazıda daha pek çok hatalı ifade var. “Gödel’in teoreminin kanıtlaması” olarak verilen argüman bir anlam ifade etmiyor, eksiklik teoremi yapay zekanın insanın bildiği tüm doğrulara erişemeyeceğini bizzat kanıtlamaz (bu konuda ancak Penrose gibi spekülasyon yapabilirsiniz), yapay zeka ile ilgili ilk paragrafta örnek verilen Goldbach sanısının PA’dan ya da ZFC’den bağımsız olduğu bilinmiyor, … Tüm bunları Açık Bilim’i ya da yazıyı yazan konuk yazarı rencide etmek için yazmadım. Sadece yukarıdaki iddiamı bir örnek üzerinden göstermeye çalışıyordum.

Üzerine popüler bilim yazısı yazılmaya çalışılan konu hakkında tuğla gibi kitaplar yazılmış teknik detayları olan bir konu; ve bu teknik detaylar önemli. Teknik detayları önemli bir konuyu bir kaynaktan alıntılıyorsanız çıkardığınız bir kelime -aynen yukarıda olduğu gibi- basitleştirme sürecini yanlış bilgilendirmeye çevirebilir. Hele ki konu üzerine bizzat uzman değilseniz ve yazdığınız şeyi akademik birincil kaynaklar üzerinden değil de bu kaynakları alıntılayan ikincil ve üçüncül kaynaklar üzerinden yazıyorsanız, bu kaynaklar arası geçiş sürecinde hakkında yazdığınız şeyin özünden kopartılmış olması çok olası. Aynen kulaktan kulağa oynar gibi… Emin olun Roger Penrose gibi ünlü bir matematiksel fizikçi bile uzman olmadığı konulara el atınca teknik hatalar yapabiliyor. Solomon Feferman‘ın Penrose’un ünlü kitabında mevzubahis Gödel teoremi ilgili yaptığı teknik hataları anlattığı bir yazı için şuraya bakabilirsiniz.

Örnek olarak neden Gödel’in teoremini seçtim? Çünkü popüler bilim kitaplarında çoğunlukla eksik ya da çarpıtılmış bir şekilde ele alındığının farkındayım. Peki ya çarpıtıldığının farkında olmadığım konular?

Ben matematikçiyim. Biyolojiden ve kimyadan pek anlamam. Fizikten de matematiksel olarak ifade edebildiğiniz ölçüde anlarım. Hakkında fikrim olmayan bu konularla ilgili bir şeyler öğrenmek istediğimde ne okuyacağım? Bilimsel şeyler bağlamlarından çıkartılıp basitleştirilmeye çalışıldığında ortaya ne kadar yanlış bilgilendirici şeyler çıkabileceğini hep birlikte gördük.

Lafın gelişi, kuantum kuramını popüler bir seviyede öğrenmek istediğimde ne okuyacağım? Okuduğum kitap kuantum kuramının hangi yorumlaması hakkında konuştuğunu açık açık belirtecek mi? Kuantum kuramının gizli değişken barındıran deterministik bir yorumuna inandığımı söylediğimde bana Bell’in teoremi ile karşı çıkmaya çalışan mahallenin popüler bilimcisi Haydar abi teoremdeki lokal gizli değişken ifadesinin farkında mı? Detayların ne kadar “teknik” olup olmadığına kim karar veriyor?

Popüler bilim insanlara bilim öğretmez; öğretemez. Zira popüler bilimdeki popüler ifadesi popüler bilimin diline ve anlatabileceklerine doğal bir sınır çiziyor. Bir söz vardır sevdiğim: “Mathematics is not a spectator sport.” Matematik seyirci sporu değildir. Aynı şeyin çoğu bilimsel disiplin için geçerli olduğunu düşünüyorum. Hangi alan olursa olsun bilim izleyici sporu değildir; içine biraz girmeden, elinizi biraz da olsa “kirletmeden” tam olarak anlaşılabilecek bir şey değildir.

Bir kişi, YouTube’deki goygoy bilim kanallarından Einstein’ın özel görelilik kuramını janjanlı uzay aracı görselleriyle anlatan videoları izleyerek kuramın öngördüğü zaman yavaşlamasını gerçekten anlayabilir mi? Hayır. En basitinden Lorentz dönüşümlerinin ve Lorentz faktörünün nereden geldiğini bilmeyen “Ay Fakin Lav Sayns” takipçisi Zihni Ergen, eğer goygoy YouTube videoları sayesinde özel göreliliği anladığını düşünüyorsa, büyük bir gaflet ve dalalet içerisindedir. Kendisine tankla, topla, uçakla ve ağır sanayi hamlesiyle girişmek Einstein’a boynumuzun borcudur.

Ludwig van Beethoven’ın 9. senfonisi okul zilleri dinlenerek anlaşılmaz. Müziği yetkin bir şefe ait bir kayıttan her notayı algılamaya çalışarak dikkatli bir şekilde dinlersiniz, eğer bilginiz varsa elinize nota alarak Beethoven’ın her partisyona neler yaptırdığını, bölümlerin formlarını ve kullanılan armoniyi anlamaya çalışırsınız.

Popüler bilimin insanlar üzerindeki etkisi en fazla insanları çeşitli konularda meraklandırıp daha akademik bilgi öğrenmeye teşvik etmek olmalıdır. Eğer popüler bilim insanları akademik bilgiye yöneltmekten çok kendi kültürünü ve takipçi kitlesini oluşturmaya başlamışsa, ortaya yazının bir sonraki bölümünde değineceğimiz sahte entelektüellik problemi çıkmaya başlayacaktır.

Sahte entelektüellik ve her konuda fikir beyan etmek

Sahte entelektüelden kastım entelektüelin sahte olanı. Sahte, fason, çakma, uyduruk, … Sahte entelektüellik, hakkında ayrıca bir blog yazısı yazılmayı hak eden bir konu. Özellikle Türkiye, sahip olduğu coğrafya ve bitki örtüsü sayesinde sahte entelektüel popülasyonu için bulunmaz bir habitat!

Pozitivizmin geniş halk kitlelerine -hala nasıl var olduğunu anlamadığım- etkilerinden birisi bilimin gelişmesiyle felsefenin tüm problemlerinin ortadan kalktığı ve doğruya sadece bilimle erişilebildiği sanısı. Bu sanının ne kadar doğru olduğunu tartışmaya girişmeyeceğim. Neden? Çünkü kendimi bu konuyu tartışacak kadar bilim felsefesi okumuş ve felsefede yetkin biri olarak görmüyorum. İşin ilginç tarafı, mevzubahis konularda benden daha az cahil olmayan pek çok geniş halk kitlesi bilimle ilgili bahsi geçen sanıya gönülden bağlı durumda. Bunun sonucunda da bilime çoğu kişi tarafından -sorulsa temellendiremeyecekleri- bir ulvilik yüklenmiş durumda.

Mevzubahis ulvilik, kültürel kodu kendi için bir şey yapmaya değil etrafındaki insanlara gösteriş yapmaya odaklanmış sahte entelektüeli bilimle ilgili olabildiğince fazla şey biliyormuş gibi gözükmeye itiyor. Bir insan hem sicim kuramı, hem evrim kuramı, hem hesapsal karmaşıklık kuramı, hem de yapay zeka hakkında ahkam kesebilir mi? Kesiyor işte. Eleman resmen Marvel süper kahramanı gibi bir şey: 50’lik Efes içince yeşerip büyüyerek Captain Science’a dönüşüyor.

Yukarıda listelediğim şeylerin hepsini ben de duydum. Bana bunlar hakkında konuş deseniz -üçüncüsü hariç- konuşmaya başladıktan en fazla iki dakika sonra söyleyeceklerim bitecektir. Neden? Çünkü ilgili konularda bilgimin sınırının ve sığlığının farkındayım. Bakın size çok süper bir kelime öğreteyim: Bilmiyorum. Ne güzel bir kelime değil mi? Bu kelimeyi her kullandığınızda bir şeyi bilmediğinizi biliyorsunuz demektir.

Mesela evrim kuramını bilmiyorum. Beş dakika içerisinde Google aracılığıyla evrim kuramını anlatan bir sürü kaynak listeleyip bu kaynakları okumaya başlayabilirim. Bu kaynaklar vasıtasıyla evrim kuramının temelleri hakkında bilgi sahibi olabilirim. Lafın gelişi, Kör Saatçi’yi okuyabilirim. Bekleyin birkaç saniye, hemen okuyayım. Okudum. (Hayır, gerçekten okumadım.) Şimdi kendime tekrar soruyorum: Evrim kuramını biliyor muyum? Cevabım bu sefer “bilmiyorum” yerine “bilmiyorum, sadece hakkındaki çok temel şeyleri biliyorum” şeklinde olacaktır. Başka şeyler okumaya devam edersem cevabımdaki bilme miktarı biraz daha artacaktır. Ancak okuduğum kaynaklar popüler bilim kaynakları olduğu sürece hiçbir zaman biliyorum demeyeceğim; diyemeyeceğim. Zira popüler bilimin kalibresi ve bana aktarabileceklerinin sınırı belli.

Öte yandan sahte entelektüel için durum bu değil. Bir şeyleri bilmemek, bilime yüklenen fazla ulvilikten dolayı cehalet göstergesi aşağılanması gereken bir davranış olarak görüldüğünden, sahte entelektüel etrafında ilgili konularda bulabildiği kaliteli ya da çerçöp tüm popüler bilim kaynaklarını tüketip yüzeyselliğin derin sularında yüzerek ahkam kesmeyi kendine bir görev ediniyor. Söylediklerini janjanlı bir şekilde paketlemesini bilen sahte entelektüelin dedikleri çoğu zaman -karşısında bir uzman yoksa- yanına kâr kalıyor. Bunun sonucunda da sahte entelektüelin kendini içerisinde gizlediği toplumun sözüm ona okumuş kesimde her konuda büyük bir kesinlikle fikir beyan eden tiplemeler ortaya çıkmaya başlıyor.

Popüler bilime bu yazıdaki son eleştirim sahte entelektüelin eline bu şekilde malzeme vermesi. Elbette ki burada suç popüler bilimin değil, sahte entelektüelin. Öte yandan, popüler bilimde kalite belirli bir seviyenin üzerinde tutulsa, şeyler basitleştirilirken özünden kopartılmasa ve popüler bilim ürünleri tüketilme esnasında gerçekten efor sarfedilmesi gereken şeyler haline gelse bu tip sahte entelektüellerin miktarının azalacağını düşünüyorum. Zira sahte entelektüelin ulaşabileceği entelektüel derinlik -tanım gereği- sınırlı.

Bir hayalim var

Bir hayalim var: Gün gelecek popüler bilim popüler olmak için değil insanlara bir şeyler öğretmek için yapılacak.

Bir hayalim var: Gün gelecek popüler bilim yazıları ikincil ve üçüncül kaynaklar kullanılarak değil birincil kaynaklar kullanılarak, konuyla ilgili akademik olarak yetkin kişiler tarafından, içerik basitleştirilirken bağlamından kopartılmadan yazılacak.

Bir hayalim var: Gün gelecek popüler bilim bir amaç değil bilime meraklı insanları akademik kaynaklar okumaya teşvik eden bir araç olacak.

Bir hayalim var: Gün gelecek Platon’un Akademi‘sini tekrar dirilteceğiz ve kapısına “sahte entelektüeller giremez” yazacağız!

C.N.

[S. 3] Yurt dışında doktora yapmak

[S] serisinin bu yazısında yurt dışında doktora yapmak üzerine bir şeyler karalayacağım. Neden bu konuda bir şeyler yazmak istediğimi açıklayarak işe başlayayım. 2013’te Ekşi Sözlük’te “yurtdışında doktora yapmak” başlığına yazmış olduğum bir yazı vardı. Bu yazı hem başlık içerisinde çok beğenilmişti, hem de üzerine özel mesajla çok soru almıştım.

Bu blog yazısında hem pozitif temel bilimlerde okuyup yurt dışında doktora yapmak isteyenler için kılavuz niteliğinde birkaç öğütte bulunacağım hem de aradan geçen üç senenin ve mezuniyetin ardından geçmişte yazdıklarımın bir değerlendirmesini yapacağım.

Can Numan ile Manhattan’a doğru

(Masum Genç Melihgrad’daki güzide üniversitesinde çimlerde müzik dinlediğini tespit ettiği Can Numan’a yaklaşır ve sorar.)

Masum Genç: Numan hocam, lisans eğitimimin sonlarına yaklaşıyorum. Yüksek lisansımı ve doktoramı yurt dışında yapmak istiyorum. Sizce… (Lafı bölünür.)

Can Numan: Yüksek lisansını ve doktoranı mı? Demek ki yurt dışı derken Avrupa’yı kastediyorsun.

M.G: Anlamadım hocam.

C.N: Avrupa’daki üniversitelerin hemen hepsi doktora yapabilmek için yüksek lisansa ya da denk bir dereceye sahip olmanı bekler. Öte yandan, genel kanının aksine, ABD’deki üniversitelerin çoğunda sadece lisans derecesi ile doktoraya başvuru yapabilirsin. Zira ABD’deki çoğu doktora programı Türkiye’dekilerin “bütünleşik doktora” dediği yaklaşık 5 senelik tasarlanmış programlardır. Bu dediklerim çoğu üniversite ve bölüm için geçerli olmakla beraber istisnaların olması kaçınılmaz. Dolayısıyla en sağlıklısı başvuru yapmak istediğin bölümün web sayfasını incelemek olacaktır. Sadece sen sorularına başlamadan önce Türkiye’deki çoğu insanın sahip olduğu “yüksek lisans olmadan doktora olmaz” varsayımının yanlış olduğunu vurgulamak istedim.

M.G: Anladım hocam. Peki bu tarz bilgilerin hepsini özetleyen, benim başvurularıma yardım edecek bir web sayfası ya da kuruluş var mı? Mesela vize başvuruları için aracı kuruluşlar oluyor ya, onun gibi.

C.N: Türk insanının en karakteristik özelliklerinden birisi, bildiğin üzere, herkesin her konuda her bilgiye sahip olmasıdır. Öte yandan kolayca teyit edebilirsin ki çoğu kişinin çoğu konuda söylediği şeyler çöp bilgi. Varmak istediğim nokta şu. Bahsettiğin gibi bir kuruluş ya da web sitesi varsa bile buralarda yazanlara körü körüne inanma. Otur kendin araştır, ikincil ve üçüncül kaynaklardan teyit et. Yurt dışında okumak istiyorum diyorsun, orada kendi başının çaresine kendinin bakması gerekecek. Bunun en temel kurallarından birisi de insanların söylediklerine güvenmemektir. Ben başvuru yaptığım dönemde ezbere konuşup yalan yanlış bilgileri etrafa yayan çok şuursuz tanıdım.

M.G: Yani oturup her şeyi başvurmak istediğim kurumların web sitesinden bizzat araştıracağım. Ama bu sitelerde yazanların çoğu İngilizce hocam. Benim İngilizcem biraz şeydir de…

C.N: Eğer eğitimini ABD’de ya da İngiltere’de yapmak istiyorsan, İngilizce’yi iyi derecede öğrenmek zorundasın. Bu arkasından dolaşılabilecek bir şey değil. Çoğu iyi üniversite iyi bir TOEFL ya da IELTS puanı bekliyor. Ana dili İngilizce olmayan yerlerde eğer eğitim dili İngilizce ise oranın dilini öğrenmene gerek olmayabiliyor ancak bu durumda bölge halkı İngilizce bilmiyorsa günlük hayatta sıkıntı yaşaman olası. Tekrar ediyorum, İngilizce seviyeni yükseltmeden hiç yurt dışına gitmeye teşebbüs etme. Zaten asistanlık falan vermelerini bekliyorsan seni gidince tekrar İngilizce sınavına sokmaları çok olası.

M.G: Hocam asistanlık almaya çalışmak yerine YÖK ya da TÜBİTAK bursu gibi şeyler alsam olmaz mı?

C.N: Olur olmasına ama bunları yaparak kendini bağlamış oluyorsun. Devlet o bursları verirken çoğu zaman yanına mecburi hizmetini de ekliyor. Eğer Avrupa’ya gitmeyi planlıyorsan bu tarz burslar almak kaçınılmaz olabilir. Zira Avrupa’da üniversitelerin kendisinden burs ya da asistanlık almak imkansız değilse bile zor.

Öte yandan ABD’ye gitmeyi planlıyorsan ve matematik, fizik, kimya vs. gibi tüm üniversiteye servis dersleri veren bölümlerden birinde okuyorsan şanslısın. Zira bu dallarda ABD’de oturtulmuş sistem kabul ettiği doktora öğrencisini asistan olarak çalıştırmak üzerine. Çoğu üniversitede göreceksin ki doktoraya kabul edilen insanların hemen hepsi aynı zamanda öğretim asistanı (teaching assistant) ya da araştırma asistanı (research assistant).

Doğrudur, asistanlık yapmadan kendi buldukları burslarla ya da kendi imkanlarıyla okumaya gelenler de var, ki değerlendirme sürecinde bu kişilerden beklenti biraz daha düşük oluyor. Hatta gözlemlediğim kadarıyla mühendislik bölümlerinde asistanlık almak pozitif temel bilimlere göre biraz daha zor. Zira bu bölümlerin öğretim asistanı ihtiyacı pozitif temel bilimler kadar çok değil ve hocaların projelerinde araştırma asistanlığı almak da kolay olmayabiliyor. Yani bir önceki paragrafta yazdıklarım genel geçer doğrular değil. Alanına, bölümüne ve birlikte çalışmak istediğiniz kişiye göre değişiklik gösterebilen şeyler.

Gene de belirteyim. Matematik alanında ABD üniversitelerinin başvuru sayfalarını incelersen “öğrencilerimize şu kadar yıl asistanlık garanti ediyoruz” gibi ibarelere rastlaman olası. Örneklemek adına, aklıma şu an ilk gelen üniversite olan UIUC’nin matematik bölümünün web sayfasını okuyabiliriz. Adamlar eğitimin süresince ilerleme gösterirsen asistanlığını altı yıl yenileriz demiş. Benim okuduğum okul da asistanlık için beş sene söz veriyordu mesela.

Demem odur ki, devletten bulduğun burs imkanlarıyla doktora yapmak kötü bir şey değil ancak o imzayı atarak bir sürü yükümlülük altına girmek yerine başvurduğun bölümden öğretim asistanlığı ya da araştırma asistanlığı koparmaya çalışmak bence daha mantıklı.

Bu noktada ne yapman gerekiyor biliyor musun? Az önce söylemiştim. Başvuracağın bölümlerin başvuru sayfalarına gidip öğrencilere sağladıkları funding/financial support seçeneklerine bakıyorsun, gerekirse bölümün sekreterine mesaj atıyorsun.

M.G: Peki hocam kabul almak zor mu? Nelere bakıyorlar? Mesela benim lisansta hiç makalem yok, bu bir sorun teşkil eder mi?

C.N: Bu sorunun yanıtı şüphesiz ki alandan alana değişecektir. O yüzden ben matematik için ve ABD özelinde konuşacağım. Eğer sıradışı bir öğrenci değilsen zaten lisansta dişe dokunur bir makale çıkarman mümkün değil. Dolayısıyla bir lisans öğrencisinden makale beklemiyorlar. Eğer yüksek lisansın varsa, tezine ve yaptıklarına göz atılacaktır. Öte yandan adamlar zaten programlarını bütünleşik olarak hazırladığından ve senin önceden sahip olduğun yüksek lisansı pek sallamadıklarından (ki bunu yüksek lisansında aldığın zorunlu dersleri saydırmaya çalıştığında çıkarttıkları sıkıntılardan fark edebilirsin) yüksek lisansta yaptıklarının o kadar da hayati önem taşıdığını sanmıyorum. Gene de net konuşmak istemiyorum çünkü ben lisanstan sonra gitmiştim ve komitenin bu konudaki yaklaşımı hakkında çok fikrim yok.

Nelere bakıyorlar? İyi derece İngilizce bilmen gerektiğini söylemiş miydim? Gene söyleyim. İlk önce TOEFL’dan ya da IELTS’den aldığın puana bakıyorlar. Belirli bir puanın altındaki başvuruları masanın bir köşesine çöpe yakın koyuyorlar ki masa üzerinde sevişmek isteyen bir çift geldiğinde kol ile masayı boşaltma hareketini yaptıkları zaman bu başvurular çöpe düşsün.

Bunun dışında, eğer GRE Subject isteniyorsa, bilin ki onun puanı çok önemli. Şu şekilde düşünmek lazım: Adam eğitim kalitesini bilmediği bir üniversite birisine B.S. ya da M.S. derecesi verdi diye bu adamın bir şey bildiğine ikna olmuyor. Niye? Çünkü adam akıllı, başkasına güvenmiyor. Bunun yerine seni kendi bildiği bir teste sokuyor. Dolayısıyla GRE Subject’ten mümkün olduğunca yüksek bir puan almak lazım. GRE General Test‘ten bir minimum puan beklentileri olsa da çoğu zaman GRE Subject kadar etkili değil. Siz gene de quantitative bölümünü tam yapmaya çalışın.

Transkript ve not ortalaması önemli. Evet az önce adam başkasına güvenmiyor seni GRE’ye sokuyor falan dedim ancak bu demek değildir ki 4.00 bir not ortalaması ile 2.00 bir not ortalamasını aynı kefeye koyuyorlar.

Referanslar çok önemli. Eğer başvuracağınız yerdeki bir hocayı tanıyan bir hocanız varsa, gidin ondan referans alın ve başvuracağınız yeri söyleyin. Kendisi zaten gerekeni yapıp ilgili hocayla bağlantı kuracaktır. Referanslarınız sağlamsa bir yerlere gitmeniz daha kolay. Mesela benim doktora danışmanım referans aldığım üç kişiden ikisinin arkadaşıydı, bu iki kişiden birinin de eski hocasıydı. Büyük ihtimalle kendisi başvurumu yaptığımda bir şekilde kabul almamı sağladı.

Beni kabul eden ancak benim reddettiğim bir üniversitenin de beni kabul etme gerekçesinin oradaki bir hocanın bir Türk öğrencisine “Türkiye’den iyi öğrenci gönder” demesi üzerine o öğrencinin benim hocalarımdan biriyle iletişim kurması olduğunu söylemem sanırım referansların ve bağlantıların ne kadar önemli olduğunu anlaman için yeterli olacaktır.

Özet geçmek gerekirse iyi transkriptin getirdiği serbest vuruşu kullanan yüksek TOEFL+yüksek GRE Subject+iyi referans/bağlantılı hoca gol getirir.

M.G: Peki hocam nerelere başvurayım? Üniversiteleri sıralamalarına göre dizip üstten başlayayım mı başvurmaya?

C.N: Sakin ol şampiyon. Şurada (potansiyel) akademik kariyerinin temellerini atıyoruz, bu yüzden öncelikle ne konuda çalışmak istediğine karar veriyorsun. Ne çalışmak istediğini bilmiyorsan da ilgini çeken birkaç alan belirliyorsun. Daha sonra bu alanları çalışan insanların ve araştırma gruplarının olduğu üniversiteleri (bu alanlarda ne kadar aktif olduklarına göre) listeliyorsun.

Bildiğin üzere doktora başvurularının hepsi paralı. Eğer her yere başvuracak ekonomik gücün varsa git hepsine başvur. Eğer başvurulara binlerce dolar harcamak istemiyorsan biraz gerçekçi davranmak lazım. Örneğin aynı anda hem Princeton‘a hem Berkeley‘e hem de Harvard‘a başvurmanın pek bir anlamını göremiyorum. Zira bu üniversitelerin biri seni reddediyorsa zaten hepsi reddedecektir ya da biri kabul ediyorsa hepsi kabul edecektir.

Dolayısıyla başvuru yaparken üst baştan sıralamak yerine “birkaç çok iyi yer+birkaç iyi yer+birkaç orta şeker yer+birkaç garanti yer” taktiğini mantıklı görüyorum. Eğer referans aldığın hocaların bağlantıları varsa, bu yerlerin seni kabul etmeleri daha olası olduğundan listeyi hazırlarken bunu da göz önüne al.

M.G: Bu kadar mı?

C.N: Bu kadar değil. Çoğu insanın başvuru yaparken göz ardı ettiği bir nokta aslında eğitimle alakası olmayan parametrelerin en az eğitimle alakalı parametreler kadar önemli olabileceği.

Mesela büyük şehir hayatını seven biriysen Kansas‘ta in the middle of nowhere tabir edilen bir şehirde sıralamalarda iyi bir üniversiteye gitmek yerine, sıralamalarda biraz daha kötü ancak Boston‘ın dibinde bir üniversiteye gitmeyi tercih edebilirsin. Soğuğu ve kışı sevmiyorsan Midwest‘in abuk kasabadan bozma şehirlerinde takılmak yerine California‘ya gidebilirsin. Eğer çok iyi olan üniversite sana senelik 16000$, biraz daha kötü ama gene de iyi olan üniversite 25000$ veriyorsa, ikincisini seçmek isteyebilirsin. Zira bu tarz akademik olmayan konulardaki yanlış seçimlerin dolaylı olarak akademik hayatına yansıması çok olası.

Dolayısıyla gitmek istediğin üniversitelerde okuyan kişilerle bağlantı kurup bu yerlerdeki sosyal ortam, coğrafik koşullar, finansal durum ve bölgenin yaşanabilirliği hakkında bilgi toplaman senin için faydalı olacaktır. Öyle sıralamaları açıp bodoslama üstten başlama başvurmaya.

M.G: Anladım hocam. Okulu bitirmeye yaklaşırken tekrar okuyacağım bu önerilerinizi.

C.N: Okulu bitirmeye yaklaşırken derken? Sen şimdiden başvuru tarihlerinden haberdar olmaya başla bence. ABD’deki okulların çoğu 201(x+1)-201(x+2) akademik yılı için başvuruları 201x-201(x+1) akademik yılının güz döneminde almaya başlar. Son başvuru tarihlerinin de Ekim sonundan Aralık sonuna kadar değiştiğini görebilirsin. Ocak ayı sonuna kadar sarkanlara da rastladığımı hayal meyal hatırlıyorum ancak çoğu kaliteli üniversitede daha geç olmuyor.

Son başvuru tarihleri konusunda bir standart yok. Başvurmak istediğin bölümün web sayfasına gidip okuyacaksın. Avrupa’nın son başvuru tarihleri ABD’ye göre genel olarak daha geçtir, bahara kadar uzayabilir. Bu noktada ne yapıyoruz? Bir önceki cümlemdeki yuvarlak söylemi fark ettikten sonra ilk verdiğim tavsiyeyi uygulayıp bana Avrupa konusunda güvenmiyoruz. Zira belli ki Avrupa’ya başvurmamışım ve geçiştirircesine laf söylüyorum. Dolayısıyla gidip başvuracağımız bölümün web sayfasını okuyoruz.

Son başvuru tarihlerini bilmek niye önemli? Çünkü GRE Subject testi yılda üç kere yapılıyor; GRE General ve TOEFL için yer bulabilmek de başvurduğun döneme göre sıkıntılı olabiliyor. Bu yüzden ne yapıyoruz? Gireceğimiz GRE Subject’i kaçırmıyoruz; GRE General ve TOEFL içinse sanki son başvuru tarihi yazılandan bir ay önceymişçesine sınav tarihi alıyoruz.

Bir de referans alacağımız hocalarımızdan “referans isteyeceksen bana bir ay önceden haber ver” şeklinde çok meşgulüm tripleri yiyeceğimizi göz önüne alarak bu insanlara aylar öncesinde “ben sizden şu şu tarihlerde referans isteyeceğim” diye haber veriyoruz.

M.G: Hocam ben üniversitemdeki Prof. Dr. Ferzan Abuzittin Çomaroğlu hocam ile konuştum, bana çalışmak istediğim alanı ve başvurmam gereken yerleri değiştirmemi söyledi.

C.N: Sevgili Masum Genç, yazının en başında insanların dediklerine güvenmeyip kaale almamak konusunda verdiğim öğüt üniversite hocalarını kapsıyor. Ne doçentler gördüm vizyonsuzdular ne profesörler gördüm hala 1975’te yaşıyorlardı. Tavsiye almak için gittiğin insanların söylediği şeyler sana güven vermiyorsa ve kolpa geliyorsa, bil ki gerçekten kolpalar.

Başkalarıyla da konuş, bir sürü insandan tavsiye al. Mümkünse yurt dışında yaşayan ilgilendiğin alanda çalışan akademisyenlerden ya da etrafındaki genç akademisyenlerden tavsiye almaya çalış. İsterse çok değer verdiğin bir hocan olsun, tek bir kişinin ipiyle kuyuya inilmez. İp vizyonsuz ve günümüz araştırmalarından habersizse düşersin de kuyudan çıkamazsın.

M.G: Teşekkürler hocam, sizin de vaktinizi aldım.

C.N: Sorun değil. Başka soruların olursa, bu blog yazısına düzenlemeyle ekleriz. Ne de olsa hayali bir diyalogun karakterleriyiz.

Geçmişe bir tur

Yazının bu ikinci bölümünde en başta söz ettiğim #33550484 numaralı eski entry’mi alıntılayarak işe başlayayım. Entry’nin hafif miktarda argo ve küfür içerdiği konusunda baştan uyarayım.

***

yapılmadan önce üzerine çok ciddi kafa yorulması, getirecekleri, götürecekleri ve olası etkilerinin (ki sadece eğitimle ilgili kısmından bahsetmiyorum burada) olabildiğince gerçekçi bir şekilde tahmin edilmesi gereken eylem. aksi halde yapıcı potansiyel sonuçlarının yanında çok yıkıcı sonuçları olabilir.

ilim irfana gönüş vermiş, gençlik ateşini kafasındaki idealistle birleştirip büyük isimlerin (büyük üniversiteler, önemli bilim adamları vs.) cazibesine kendisini kaptıran genç neslin bu tarz işleri daha sağlıklı yapabilmesi için turing kardeşiniz size kendi bitmemiş macerasının bazı kesitlerini sunarak örnek ve ibret olacaktır. öncelikle tüm bu doktora yapmak olayına yaklaşımınızın ne olduğuna karar verin. bunu kariyer sevdası, pratikte sizi getireceği konum vs. için mi yapıyorsunuz yoksa sadece hangi bilim dalı ile uğraşıyorsanız onu yapmaktan eğlendiğiniz, insanlığa bilime katkı yapmak istediğiniz ve o konuda akademisyenliğin piyasadaki diğer işlere göre tercih edilir bir iş olduğunu düşündüğünüz için mi? eğer kariyer sevdası gözünüzü bürümüşse ve sadece isminin başına prof. dr. isteyen, bir sürü paperlar yazıp “en birinci bilim adamı benim saksı değilim ben” modunda takılmak isteyen, akademisyenliği bir araç değil amaç olarak gören bir insansanız, tebrik ediyorum doğru yoldasınız, yurtdışında doktora yapmak tam olarak size göre. dalga geçmiyorum, gerçekten de alanında iyi bir abd ya da avrupa üniversitesinden alacağınız bir doktora sizi türkiye’ye eğer geri dönerseniz bayağı yüksek bir konuma koyacaktır. istediğiniz kadar dallama bir insan olun, o cv‘nin içinde atıyorum princeton university fizik bölümü yazdığı zaman, türkiye’nin einstein‘ı, teorik fiziğin önde gelen ismi olacaksınız. en azından kağıt üzerinde. ama zaten sizin kağıt üzerindeki şeylere olan sevdanız konusunda hem fikir olduğunuz için bu sanırım yeterince tatmin edici sizin için, gidin yapın doktoranızı. aşağısını çok okumanıza gerek yok.

gelelim ikinci gruba. bu gruba giren ülküdaşlarım, size önemli uyarılarım var. ocaktan haber saldılar gaza gelip gitmeden önce son bir sorgulayın gidişinizi diye. neden mi? görelim… üniversitede matematik bölümüne ilk tercihimden girdim, tamamen georg cantor denen pezevengin gazına geldim, düşünsenize lisedesiniz böyle biri gelip “bak bu sonsuz şu da sonsuz, ama bu ötekinden daha sonsuz”:cantor teoremi diye sizi soyut matematiğin ilerlediğinizde gerçek hayattan tamamen kopacak ama estetik harikası olan, neredeyse sanatsal bir güzelliğe sahip alanlarına çekiyor, siz de gençliğin verdiği toylukla atlıyorsunuz direkt. buradan yaptığım tercihin yanlış olduğunu düşündüğüm anlaşılmasın. kesinlikle durum bu değil, pişman değilim, gene olsa gene yaparım. matematik bölümünü bitirmenin, hatta üzerine odaklandığım soyut konularla ilgilenerek bitirmenin hayatımda yaptığım en doğru karar olduğunu düşünüyorum. “doğru karar” dedim, hangi açıdan doğru? bilimleri karşılaştırarak matematik faşizanlığı yapmak istemiyorum o yüzden söylediklerimin tamamen kendi algım olduğunu, benim olayı böyle gördüğümü baştan ekleyeyim. matematiksel düşünmenin getirdiği bir sistematik, aksiyomatik düşünme zorunluluğu, her şeyi parçalarına ayırıp analiz etme, şeyleri kolayca soyutlayabilme, nesnelerin duruma göre önemli ve gerekli olan özelliklerini ayırıp gerisini tamamen boş bir detay olarak görebilme yeteneği var. tüm bunların yanında çalıştığım konuların da getirdiği birikimi ve vizyonu göz önüne alarak, cidden liseden sonra körpe beynimle yaptığım seçimin ufkumu genişlettiğini düşünüyorum. dolayısıyla sağladığı entelektüel haz ve ufkumun sınırlarını genişletmesi açısından yaptığım en doğru seçimdi.

öte yandan “pratik hayatta bana getirdiği şeyler açısından yaptığım en doğru seçim” mi diye sorarsanız büyük ihtimalle size ya cevap veremem ya da hayır cevabı veririm. neden mi? daha sonra gelecek nedeni. efendim, temel bilimlerin sağladığı entelektüel haz ve insanı getirdiği gazla çoğu nerde bağlamış temel bilim öğrencisi gibi yurtdışında doktora yapmayı lisans okurken kafaya koymuştum. lisans okurken derken, üniversite ikinci sınıftan bahsediyorum yalnız. hani milletin iki sene sonra araştıracağı gre, toefl gibi sınavların tüm detaylarını ikinci sınıftan biliyordum, öyle kafaya koymuşum yurt dışına çıkıp doktora yapmayı. neden? çünkü matematikle uğraşmak istiyorum, hani güzel ya, pezevenk cantor benim kafamı çeldi ya, zaten akademisyenlik dediğin şey nedir ki? bütün gün oturup hakkında düşünmekten eğlendiğin şeyi düşünüp üzerine bir de para kazanıyorsun, ne güzel değil mi?

aslında buraya kadar sorun yok gibi, ama olabilir de. her neyse. buraya kadar olan argümandan sonra pratik nedenlerle şöyle bir düşünce zinciri başlıyor. abicim odtü, bilkent, boğaziçi, koç gibi yerlerde hoca olmak istiyorsan ileride, tabiri caizse ya seve seve ya sike sike doktora ya da post doc yapacaksın yurt dışındaki kaliteli bir üniversitede. böyle duymuşuz herkesten çünkü. doğru bir tespit orasına laf yok, ama öyle duymuşuz ya, işte yukarıdaki “akademisyenlik ne güzel vapurlar falan” argümanından sonra onu bunla birleştirince oradan direkt yurt dışına çıkmam lazım kısmına atlıyor insan. hah işte bu son bir iki argümanımı üreten zihniyetimi sikeyim diyorum şu an.

eğer üniversitede okurken aile ile yaşamak eylemini yapmışsanız, prens gibi büyütülmüş ve daha önce hiç tek başına yaşamamışsanız benim gibi, o her yurt dışına uzun süreli giden insanın bahsettiği, kişiden kişiye göre uzunluğu değişen ilk yaşayacağınız yurt dışı depresyonu var ya:ben uydurdum terimi, o çok kötü koyacak size. quarter life crisis‘ı da umarım türkiye’deyken yaşamışsınızdır, çünkü onu da bu yurt dışı depresyonuyla kombo olarak deneyimlerseniz sonuçları psikolojiniz açısından pek yapıcı olmayacaktır. bir süre sonra geçecek tüm bu hisler, orası ayrı. ama geçeceği o süreçte eğer yaptığınız hareketleri sorgularken bu doktora yapmak ve yurtdışında doktora yapmak eylemlerini sorgular ve gençken yaptığınız bazı hareketlerin çok şuurla yapılmadığına kanaat getirirseniz o zaman sıçtınız işte.

yazının başlarında doktora yapmak olayına nasıl yaklaştığınızı sormuştum ya. eğer ikinci gruptansanız ve sizi öğrenmeye, okuduğunuz şeyi okumaya iteleyen güçler pratik sebeplerden öte aldığınız entelektüel haz ise o üstteki paragraftaki kanaat getirme eyleminin sonunda varacağınız sonuç bir ihtimalle “ben ne halt yedim de geldim buraya amk” olabilir. olmayadabilir. kesinlikle olacaktır demiyorum, tanımı yaparken zaten o yüzden iyi hesap edilmesi gereken şeyler var dedim.

örneğin tamamen yalnız kalabilirsiniz, ki emin olun etrafınızda küçüklüğünüzden beri sizi sürekli çevreleyen, sürekli iletişim kurabildiğiniz bir “kabuk” var ise yalnızlığın:yalnızlık ne olduğunu bilmiyorsunuz, bildiğinizi düşünmeyin. hiç kimseyi tanımadığınız, işleyişini gerçek hayatta hiç tecrübe etmediğiniz bir mekana tamamen kimsesiz, arkanızda kimsenin olmadığını bilerek ve hissederek gitmek farklı bir şey çünkü. yurtdışında doktora yapmak eğer piyango size vurursa pür yalnızlıktır. hayır, etrafınızda the big bang theory‘deki gibi bir ekip olmayacak. valla olmayacak. hani matematik gibi içerisinde büyük bir nerd/geek potansiyeli barındıran bölümü kendi dalında listelerde yüksek derecelere sahip bir üniversitede okuyorum, yok öyle bir insan güruhu etrafta. zaten olsa bile merak etmeyin, siz anadolu çocuğusunuz, o kültür farkından kaynaklı olaylara bakış açısı farkını her muhabbetinizde hissedeceksiniz yabancılarla, o yüzden o türkiye’de bıraktığınız çok yakın arkadaşlarınız var ya, onların yenileri olmayacak.

zaten standart olarak takriben 22-25 yaşlarında gidiyor olmalısınız doktoraya, o yaştan sonra insanın yeni arkadaş edinip o iletişimi ilerletme motivasyonu kesiliyor. başka ne var? diyelim ki amerika birleşik devletleri‘nin o müthiş üniversitelerinden aldınız gazı bu ülkeye gittiniz. mösyö, üzgünüm ama o “abi amerika’da herkes sürekli yarış içindeymiş akademik dünyada, millet çok kasıyo ya” dedikoduları gerçek. kapitalizmi her metrekaresinde yoğun bir şekilde yaşayan abd’yi ve bunun sonucu olarak gelen insanların birbirleriyle sürekli yarış içinde olmasının ve herkesin işinde “profesyonel olarak en iyi” olma çabasının akademiye yansımış halini hissedeceksiniz. çinliler ve hintlilere karşı adamlar sırf aynı sürede sizin yaptığınızın iki katını yapabildiği için gizli ırkçılık geliştireceksiniz, o derece. abd’nin genel formülü şudur: işini iyi yaparsan yükselirsin, iyi yapamazsan ya da senden daha iyisini yapan biri bulunursa haydi güle güle. emin olun, iş derken çok geniş kapsamlı düşünmeniz gerekiyor. doktora öğrencisi olmak da iş, öğrencilik türkiye’deki gibi öğrencilik değil burada.

başka başka? gittiğiniz yerin türkiye ile olan saat farkına, uzaklığına ve türkiye’yi ziyaret etme sıklığınıza göre o sahip olduğunuz eski hayat, çevre, insanlar falan var ya, o hayat tamamen yok olma ile yarısı kaybolma ibreleri arasında gidip gelecek (fark ettiyseniz tamamını korumak gibi bir seçenekten bahsetmedim). yani yirmi küsür sene boyunca kurduğunuz, bildiğiniz hayatı bir anda silecek, buna göz göre göre izin vermek zorunda kalacaksınız. eğer doktorayı yarıda bırakıp dönmeyi düşünmüyorsanız bu iş olacak: ya seve seve ya seve seve. bir arkadaşa bakıp çıkacaktım ben, eski hayatım beklesin biraz orada diyemiyorsunuz.

başka başka? entelektüel haz demiştim ya. evlilik aşkı öldürüyor dayı. sen bu işleri ilk öğrenirken o okuduğun güzel argümanlardan, kanıtlardan, deneylerden ne kadar zevk aldığını hatırlıyorsun değil mi? hoca gelip şu makaleler şöyle bitecek, şu hafta da şöyle seminer vereceksin, o önceki yaptığın şey var ya o da yanlışmış, şunu yap tekrar gel diye dayatmalara başlayınca ne olacak biliyor musun? kendi hikayemi özet geçeyim tek cümlede: matematik her zaman ilk aşkımdır, öte yandan afedersiniz ama sikerim böyle aşkın ızdırabını.

demem odur ki doktora yapmak zaten zor bir eylemdir. yurtdışında yapıyorsanız ve eğer ciddi bir üniversitede yapıyorsanız emin olun daha da zor olacak. yeterlilik sınavları mı dersiniz, her hafta hoca ile yapacağınız toplantılarda sunacağınız bir şeyler bulamamak mı dersiniz… bunların her dakikası sinir ve stres olarak geri dönecek size. her ay fiziksel olarak bir ay yaşlansanız da ruhsal olarak beş aylık çöktüğünüzü, ruhunuzun bir parçasının bu stres içinde yavaş yavaş öldüğünü göreceksiniz. gençliğinizin baharını heba ettiğinizi hissedeceksiniz sürekli. bir tarafınızdan kan alacaklar:götünden kan almak. asıl soru bu kanı türkiye’de var olan hayatınızda mı aldırmak istersiniz yoksa bütün hayatınızı resetlediğiniz ve yukarıdaki sorunların bir kısmını yaşayabileceğiniz yaban ellerde mi aldırmak istersiniz?

niye tüm bunları yazdım? taa yukarıda “…gençken yaptığınız bazı hareketlerin çok şuurla yapılmadığına kanaat getirirseniz o zaman sıçtınız işte” demiştim ya. işte bu yazdıklarımın hiç birini ne yazık ki zamanında düşünememiştim ve kimse de beni uyarmamıştı. abd’de doktora yapıyorum şu an, ne kadar güzel ne kadar hoş değil mi? değil işte, geldim ama nasıl geldim? tamamen şuursuz bir şekilde gelmişim, şu an düşününce öyle geliyor en azından. hoş, büyük ihtimalle uyarsaydı biri beni bu konuda çok bir şey değişmeyecekti. o aldığım entelektüel haz var ya, onun getirdiği özgüvene sokayım afedersiniz. böyle kendi burnunun dikine götürmekten başka bir şey yaptırmıyor.

“ne çok zırladın ya niye geri dönmüyorsun lan o zaman” derseniz, pratikteki getiri ve götürüleri açısından yukarıda bahsettiğim sorunları da katarak bir optimizasyon yaptım. benim için çok geç, pozitif kazanç sağlamak adına seve seve devam etmek zorundayım ama siz kaçın kendinizi kurtarın. aslında böyle şeyler diyerek demotive etmek istemiyorum kimseyi, o yüzden son dediğimi tekrar ifade edeyim.

eğer doktora yapmak eyleminin sizin için bir amaç değil bir araç olduğunun farkına varırsanız, öğrendiğiniz bilimin derinliklerini öğrenmek için illa da doktora yapmak zorunda olmadığınızın farkına varırsanız ve bunun farkına vardığınızda bu öğrenme işini amatör biçimde yaparken, dışarıda insanlar için çizilen standartlaşmış hayat yollarının en tercih edileni olan devlette ya da özel sektörde işe girmek sizi tatmin edecekse, ve en önemlisi, yukarıda bahsettiğim potansiyel sorunları yaşamanın yurt dışı deneyiminize değmeyeceğini düşünüyorsanız, o zaman oturun oturduğunuz yerde.

öte yandan bu yazdıklarım sizi ikna etmediyse gidin doktoranızı yapın çünkü sizi motive eden bir şeyler hala var demektir bu. iyi tutunun onlara, kaybolmasınlar yaban ülkelerde. ne diyorduk, yurtdışında doktora yapmak. eğitiminiz için, bilgi birikiminiz için, hayat deneyiminizin için pek çok getirisi var. öte yandan ruhunuz için, gençliğiniz için pek çok götürüsü olabilme potansiyeli de var. oturup iyi hesap yapmak lazım.

turing, 28 nisan 2013

***

Yazdıklarıma dönüp baktığımda yazdığım şeylerin hiçbirinde “yanlış” bir şey göremiyorum. Sanırım yukarıdaki yazıya yapmam gereken tek ekleme, bu yazının içerisinde yazıldığı yorgun ve pesimist ruh halinden çıktıktan sonra listelediğim deneyimlere karşı daha nötralleştiğim.

Şöyle ki,

  • bu süreçte zihin sağlığım açısından problem yaşadım mı? Evet.
  • bu süreçte uzunca bir süre yalnız ve mutsuz oldum mu? Evet.
  • bu süreçte ruhum bedenimden beş kat daha fazla yaşlandı mı? Evet.
  • bu süreçte eşek gibi çalışmak zorunda kaldığım zamanlar oldu mu? Evet.
  • eğer doktorayı yurt içinde yapmış olsaydım yukarıdakileri yurt içinde de aynı şiddette yaşar mıydım? Hayır.

Peki gene olsa gene yapar mıyım? Şu an düşündüğümde bu sorunun yanıtı evet. Aslında bunun nedeni tahmin ettiğinizden daha yüzeysel. Şu an bu yazdıklarıma bakıp “geçmişte olup bitmiş beni değiştiren deneyimler” olarak bakabiliyorum. Doktora süresince elime geçen pozitif kazanımlar hala dururken, bu yazdıklarıma dair negatif hisler yavaşça yok oluyor. Geçmişe baktığımda gece boyunca yorgun biçimde tahtaya bir şeyler karalarken yalnızlıktan üzüldüğüm zamanları değil, Metropolitan’da Don Giovanni izlediğim zamanları, ilk defa bir konferansta sunum yaptığım zamanları hatırlıyorum.

Dediklerim yanlış anlaşılmasın diye özellikle vurgulamak istiyorum. “Biraz sıkıntı çekeceksin, sonra her şey güzel olacak” demek istemiyorum. Belki de öyledir gerçekten. Ancak bu düşünceyi yanlış buluyorum.

Hayat Super Mario oynar gibi “İlk başta tüm mantarları altınları toplayım daha sonra hepsi işime yarayacak.” zihniyetiyle yaşanmaz. Hayat akıp giden ve geri dönmeyen bir şey. Olabildiğince mutlu olmaya çalışın.

Ben size potansiyel olarak nelerin ters gidebileceğini ve neden mutsuz olabileceğinizi yazdım. Öte yandan Türkiye’nin içerisinde bulunduğu mevcut koşullar ve gitgide kutuplaşan insanların birbirlerine bakışı göz önüne alınırsa, Türkiye’de yaşarken de mutlu olmanın pek kolay olduğu söylenemez. Hele kendinizi Türkiye’deyken topluma ait biri gibi hissetmiyorsanız zaten yurt dışında yukarıda saydığım problemlerle bile daha mutlu olmanız daha olası.

Dolayısıyla, sanıyorum ki son vadede şunu demem daha doğru olacaktır: Eğer doktoranızı yurt dışında yapmak gibi bir planınız ve imkanınız varsa, yapmayı deneyin. En kötü ihtimalle bırakır geri dönersiniz, en iyi ihtimalle dış mihraklardan ilim ve medeniyet öğrenip felsefe doktoru olursunuz.

C.N.

[S. 2] Saraydan imkansız kız kaçırma

S serisinin bu yazısında çözülmesi ilk bakışta imkansız gözüken bir kral-mahkum oyununu analiz edeceğiz.


… ve tam o sırada Belmonte, nişanlısı Konstanze’yi saraydan kaçırmak üzereyken Selim Paşa ve muhafızları tarafından yakalanır. Selim Paşa bu ihanetin cezası olarak Belmonte’nin kellesinin vurulması için emir vermek üzereyken merhamet gösterir ve Belmonte’ye yaşaması için bir şans vermek ister.

Komşu ülkelerdeki kralların mahkumlarına renkli şapkalar giydirdiği, iskambil kağıtları açtırdığı ve kapılar arasından seçim yaptırdığı hikayelere aşina olan Selim Paşa, ülkenin en donanımlı bilginlerini sarayına çağırtıp Belmonte için bir oyun hazırlanmasını ister, öyle ki bu oyun şimdiye kadarki tüm mahkum bulmacalarından daha zor olsun.

Bilginler üç gün sonra, her duyanın çözülmesinin imkansız olduğunu söylediği bir oyun hazırlarlar. Belmonte üçüncü günün şafağında hücresinden çıkartılıp Selim Paşa’nın huzuruna çıkartıldıktan sonra zorla bir iksir içirilerek kendisi için hazırlanmış kare şeklindeki arenanın içerisine atılır. Selim Paşa Belmonte’ye oynayacağı oyunu anlatmaya başlar:

  • Nişanlın Konstanze bu kare arena içerisinde bir yerde uyuyor.

Belmonte etrafına bakar ancak Konstanze’yi göremez. Selim Paşa anlatmaya devam eder:

  • Büyücümün hazırladığı özel bir iksir sayesinde Konstanze görünmez oldu ve sen ona dokunana kadar da görünmez kalacak ve uyuyor olacak. Sana içirdiğimiz iksir sayesinde sürekli bir yörüngede hareket etmek koşuluyla istediğin yönde istediğin kadar hızlı koşabilirsin. Amacın bu arena içerisinde koşarak Konstanze’yi bulmak. Koşman için sana 1 saniye vereceğim. Eğer 1 saniye içerisinde koşarken Konstanze’ye dokunabilirsen ikinizi de serbest bırakacağım. Eğer 1 saniyenin sonunda Konstanze’ye dokunamamış olursan kelleni vurduracağım. Ancak…

Belmonte oyunu kolaylıkla kazanacağını düşünür. Zira istediği kadar hızlı koşabilecektir ve arenanın köşesinden koşmaya başlayıp kollarını açarak 1 saniye içerisinde tüm alanı, aynen bir süpürgeyle yer siler gibi, kolayca tarayabilir.

Belmonte bunları düşünürken Selim Paşa büyücüsüne işaret verir ve büyücü bir şeyler fısıldamaya başlar. Fısıldamalar sona erdiğinde Belmonte birden noktasal bir parçacığa dönüştüğünü fark eder. Selim Paşa anlatmaya devam eder:

  • Büyücüm az önce hem seni hem de Konstanze’yi noktasal parçacıklara dönüştürdü. Oyun boyunca da noktasal parçacıklar olarak kalacaksınız. Yani Konstanze’ye dokunabilmek için koştuğun rotanın tam olarak Konstanze’nin bulunduğu noktadan geçmesi gerekiyor.

Belmonte ne yapacağını şaşırır. Az önce yaptığı plan suya düşmüştür. Bu esnada Selim Paşa kahyalarından Osmin’e işaret verir ve Osmin gözlerini kapatır. Selim Paşa oyunun kurallarını anlatmaya devam eder:

  • Osmin, oyun başladıktan sonra rastgele bir anda gözlerini anlık olarak açıp geri kapayacak. Eğer Osmin gözlerini açtığı anda hız vektörün sıfırdan farklıysa, oyun sonunda Konstanze’ye dokunmuş olsan bile oyunu kaybetmiş sayılacaksın ve kelleni vurduracağım.

Selim Paşa, oyunu Belmonte için kazanılması görünürde imkansız bir hale getirmiştir. Öğlen kellesini vurduracağını umduğu Belmonte’ye bıyık altından gülerken Belmonte’nin cebinden kalem kağıt çıkartıp bir şeyler karalamaya başladığını görür. “Ne karalıyorsun orada?” diye sorar. Belmonte kafasını hafifçe kaldırıp “Strateji geliştiriyorum sultanım” der. Kısa bir süre sonra elindeki kağıdı cebine koyar ve “Hazırım!” der.

Belmonte harekete başlamak istediği noktaya geçer, koşmaya başlar ve 1 saniyenin sonunda Osmin’e hareket eder bir vaziyette yakalanmadan Konstanze’ye dokunmayı becerir. Selim Paşa şok olmuş bir vaziyette büyücüsüne Belmonte ve Konstanze’yi eski büyüklüklerine getirmesini söyler. Daha sonra sözünü tutarak ikisini de serbest bırakır.

Belmonte ve Konstanze saraydan ayrılmak için hazırlanırken, Selim Paşa hala Belmonte’nin oyunu nasıl kazandığını anlamaya çalışmaktadır: Osmin gözlerini rastgele bir anda açmaya karar vermiştir. Muhafızlar ise Konstanze’yi arenada rastgele bir noktaya yerleştirmiştir. Belmonte’nin oyunu kazanması tamamen şans eseri olmalıdır.

Belmonte ve Konstanze saraydan ayrılmak üzereyken Selim Paşa yanlarına gelerek “Ülkenin en donanımlı bilginlerini sana kazanması imkansız bir oyun hazırlamaları için görevlendirdim. Osmin’e hareket eder vaziyette yakalanmadan Konstanze’yi bulabildiğine göre çok şanslı olmalısın.” der. Belmonte cevap verir “Şans değil”. Daha sonra stratejisinin yazdığı kağıdı cebinden çıkartıp Selim Paşa’ya verir ve Konstanze’yle birlikte uzaklara doğru yol alır.

Selim Paşa, Belmonte’nin stratejisini bilginlerine incelettiğinde o ana kadar sahip olduğu tüm matematiksel sezgilere aykırı bir sonuçla karşılaşır: Belmonte, Osmin’e yakalanmadan Konstanze’ye 1 olasılıkla kavuşmasını sağlayan bir strateji bulmuştur.


Hayır, yanlış okumadınız. Osmin gözlerini ne zaman açmaya karar verirse versin ve Konstanze arenanın neresinde olursa olsun, Belmonte’nin 1 olasılıkla Osmin’e yakalanmadan Konstanze’ye kavuşmasını sağlayan bir koşma stratejisi var. Bu yazıda bu stratejinin ne olduğunu göreceğiz.

Bulmacayı matematikselleştirmek

Yazının bu bölümünde yukarıdaki oyunu nasıl matematiksel bir çerçeveye oturtacağımızı göreceğiz.

Oyunun oynandığı kare arenayı [0,1] \times [0,1] kümesiyle temsil edebiliriz. Burada arenanın bir kenarının ne kadar uzun olduğu önemli değil zira arenanın bir kenarını birim uzunluk seçerek Belmonte’nin koşusunu buna göre ölçekleyebiliriz. Benzer şekilde oyun boyunca ilerleyen zaman eksenini [0,1] kümesiyle temsil edebiliriz.

İçtiği iksirin kazandırdığı güçler sayesinde Belmonte’ye sürekli bir yörüngede hareket etmek koşuluyla istediği yönde istediği kadar hızlı gidebileceği söyleniyor. Dolayısıyla Belmonte’nin koştuğu rota [0,1] kümesinden [0,1] \times [0,1] kümesine giden sürekli bir s fonksiyonuyla tarif edilebilir. Tam tersi şekilde, [0,1] kümesinden [0,1] \times [0,1] kümesine giden her sürekli

s(t)=(x(t),y(t))

fonksiyonu için, Belmonte t anında arena içerisindeki koordinatları s(t) olacak şekilde hareket edebilir. Bu fonksiyona Belmonte’nin pozisyon fonksiyonu diyelim.

Belmonte için bir strateji demek, ona hangi yörüngede koşması gerektiğini söyleyen sürekli bir pozisyon fonksiyonu demek. Amacımız öyle bir sürekli pozisyon fonksiyonu inşa etmek ki, Belmonte 1 olasılıkla Konstanze’ye kavuşsun.

Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta, eğer Belmonte s(t)=(x(t),y(t)) pozisyon fonksiyonuna göre koşuyorsa, Belmonte’nin hız vektörünün, yani s'(t)=(x'(t),y'(t)) vektörünün, her t için tanımlı olması gerekmediği. Yani Belmonte’nin pozisyon fonksiyonu her noktada türevlenebilir olmak zorunda değil. Tabii şunu da unutmamak lazım. Eğer Osmin Belmonte’yi hız vektörünün tanımsız olduğu -dolayısıyla sıfır vektörü olmadığı- bir anda yakalarsa Belmonte’nin kellesi uçacak!

Osmin olmasaydı

Belmonte’nin hayatta kalabilmesi için hem Konstanze’yi bulması hem de bunu yaparken Osmin’e yakalanmaması gerekiyor. Yazının bu bölümünde sadece ilk hedefe odaklanalım: Konstanze’yi bulmak.

Eğer Osmin olmasaydı ve Belmonte’nin amacı sadece 1 birim zamanda Konstanze’ye dokunmak olsaydı, Belmonte bunu garanti edecek bir strateji bulabilir miydi?

Soruyu daha matematiksel olarak ifade edelim. [0,1] kümesinden [0,1] \times [0,1] kümesine öyle bir s(t)=(x(t),y(t)) fonksiyonu var mıdır ki s fonksiyonu sürekli olsun ve görüntüsü birim karenin tamamı olsun?

Başka bir deyişle, noktasal uçlu bir kalemle elimizi kaldırmadan birim karenin tamamını boyamak mümkün müdür? Bu görev ilk bakışta imkansız gözükebilir. Zira noktasal uca sahip bir kalemle iki boyutlu bir yüzeyi boyuyoruz ve elimizi kaldırmadığımız sürece ne yaparsak yapalım bir yerlerde boşluk kalacak, değil mi? Değil.

Her ne kadar sezgi karşıtı olsa da uzay dolduran eğri denen eğriler var. Bu eğriler tam olarak aradığımız şeyler: [0,1] kümesinden [0,1] \times [0,1] kümesine örten ve sürekli fonksiyonlar.

Uzay dolduran eğrilerin tarihi 1890 yılında keşfedilen Peano eğrisine ve 1891 yılında keşfedilen Hilbert eğrisine kadar gidiyor. Öte yandan bu eğrilerin inşası çeşitli fonksiyon dizilerinin limitleri alınarak yapılıyor ve dolayısıyla geniş halk kitlelerine hitap eden basit tanımları yok. 1938 yılında Schoenberg tarafından şu makalede keşfedilen uzay dolduran eğrinin tanımıysa sanıyorum ki her calculus öğrenmiş genç tarafından kolayca anlaşılabilir. “Ben bu uzay dolduran eğrileri çok sevdim, bunlarla ilgili daha çok şey öğrenmek istiyorum.” diyorsanız da Space-Filling Curves kitabının pek çok örnek içerdiğini söylemeliyim.

Bu noktada geniş halk kitlelerinden iki cümlelik müsaade istiyorum dar halk kitlesi matematikçi komradlarıma seslenmek için. Yoldaşlarım, Hahn-Mazurkiewicz teoremi bir topolojik uzayın ne zaman [0,1] aralığının sürekli bir görüntüsü olarak yazılabileceğini karakterize ediyor. Kesin bilgi, yayalım.

Şimdi Belmonte’ye dönelim. Uzay dolduran eğriler var olduğuna göre, eğer Osmin olmasaydı, Belmonte pozisyon fonksiyonunu uzay dolduran bir s eğrisi seçerek koşusunun sonunda [0,1] \times [0,1] kümesindeki her noktanın üzerinden geçmeyi garanti edebilirdi. Dolayısıyla, eğer Osmin olmasaydı, Konstanze nereye konursa konsun olsun Konstanze’ye kavuşabilirdi.

Osmin’i alt etmek

Birinci hedefimizi başarmak için bir yol bulduk: Pozisyon fonksiyonu olarak uzay dolduran eğriler kullanmak. Sıra ikinci hedefte: Osmin’i alt etmek.

Belmonte’nin rastgele bir uzay dolduran eğri kullanması, büyük ihtimalle Osmin tarafından enselenmesine neden olacak ve dolayısıyla kellesine mal olacaktır. Mesela Belmonte kullanacağı eğriyi Schoenberg’in eğrisi olarak seçsin. Şu makaleye göre Schoenberg’in eğrisi hiçbir yerde türevlenemez bir eğriymiş. Yani pozisyon fonksiyonumuzu bu sürekli eğri seçtiğimizde hiçbir noktada hız vektörünü yazamıyoruz çünkü tanımlı değil. Bu durumda Osmin gözlerini açtığı anda, hız vektörü olmadığı için, Belmonte oyunu kaybedecek. Demek ki Belmonte’nin biraz daha dikkatli olması gerekiyor.

Belmonte’nin ne yapması gerektiğini düşünelim. Öyle bir uzay dolduran s(t)=(x(t),y(t)) eğrisi bulmalı ki, Osmin’in gözlerini açmak için seçtiği anın

[0,1] \setminus \{t \in [0,1]: s'(t)=(x'(t),y'(t)) = (0,0)\}

kümesinde olma olasılığı 0 olmalı. Burada olasılık kuramına aşina olmayan kitlelerce dikkat edilmesi gereken bir nokta var. Osmin’in gözlerini açmak için seçtiği anın bu kümede olma olasılığının sıfır olması bu kümenin boş olmasını gerektirmiyor. (Şuradaki ikinci paragrafı okuyabilirsiniz mesela.) Az sonra yapacağımız inşada bu küme boş olmayacak, hatta sayılamaz sonsuzlukta bir küme olacak.

Şeytan’ın merdiveni

Cantor kümesi (ve Cantor uzayı) şüphesiz ki her matematikçinin hayatının bir noktasında karşılaştığı, sahip olduğu topolojik ve ölçü kuramsal özellikler ile alınması gereken pek çok ibret barındıran bir kümedir. Nice yaman lisans öğrencisi nice analiz ve topoloji ödevinde Cantor kümesinin kanıtlamaya çalıştıkları önermeye karşı örnek oluşturduğunu günler sonra fark ederek matematik yolunda heba olmuştur.

Yazının bu bölümü için Cantor kümesinin ne olduğunu bilmenize gerek yok demek isterdim ama ne yazık ki gerek var. Dolayısıyla ilgili Wikipedia sayfası ya da Google’dan bulduğum şu sayfa vasıtasıyla Cantor kümesinin nasıl inşa edildiğini okumanız bu bölümde yapacaklarımızı anlamanızı kolaylaştıracaktır.

Cantor kümesi kullanılarak tanımlanan, [0,1] kümesi üzerinde tanımlı Cantor fonksiyonu diye bir fonksiyon var. Kendisine Şeytan’ın merdiveni de deniyor. Kabaca şöyle gözüküyor:

cantorfunction_1000

Bu fonksiyonun grafiğine özyinelemeli olarak nasıl yakınsanabileceği şu .gif dosyasından izlenebilir.

cantor_function

Eğer bu fonksiyonun açıkça verilmiş bir tanımını görmek istiyorsanız da yukarıda bağlantıladığım Wikipedia sayfası ya da şu makale okunabilir.

Cantor fonksiyonunu F: [0,1] \rightarrow [0,1] ile gösterelim. F fonksiyonu şu özellikleri sağlayan bir fonksiyon:

  • F sürekli, örten ve azalmayan bir fonksiyon.
  • F fonksiyonun türevi hemen her yerde sıfır. Daha açık olmak gerekirse, F fonksiyonunun türevi Cantor kümesi dışındaki her noktada sıfır ve Cantor kümesindeki noktalarda da türevi tanımsız.
  • Lebesgue ölçümü sıfır olan öyle bir C kümesi bulunabilir ki F[C]=[0,1] olur. Daha açık olmak gerekirse, Cantor kümesinin F altındaki görüntüsü [0,1] kümesine eşittir.

Yazının sonraki bölümünde bu özelliklerden ilk ikisini kullanarak Belmonte için bir strateji geliştireceğiz.

Büyük final: Saraydan imkansız kaçış

Uzay dolduran bir G: [0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1] eğrisi alalım ve F: [0,1] \rightarrow [0,1] Cantor fonksiyonunu belirtsin. Belmonte, pozisyon fonksiyonunu

G \circ F: [0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]

fonksiyonu olarak seçsin. Bu durumda

  • G \circ F sürekli ve örten bir fonksiyon olacaktır. Yani G \circ F uzay dolduran bir eğri. Bunun nedeni iki fonksiyonun da sürekli ve örten olması.
  • G \circ F fonksiyonunun hemen her yerde türevi sıfır vektörü olacaktır. Bunun nedeni F fonksiyonunun Cantor kümesi dışında yerel olarak sabit olması ve dolayısıyla bileşke fonksiyonun da Cantor kümesi dışında yerel olarak sabit olması.

Belmonte G \circ F pozisyon fonksiyonuna göre koştuğunda ne olduğunu anlamaya çalışalım. Bu eğri uzay dolduran bir eğri olduğuna göre Belmonte koşusunun sonunda Konstanze’nin üzerinde bulunduğu noktadan geçmiş olacak. Diğer bir taraftan, Belmonte’nin Cantor kümesi dışında kalan her t \in [0,1] anında hız vektörü sıfır. Dolayısıyla Belmonte’nin Osmin tarafından enselenme olasılığı, Osmin’in gözünü açmaya karar verdiği anın Cantor kümesinde olma olasılığından küçük eşit. Ancak Cantor kümesinin Lebesgue ölçümü sıfır olduğu için, bu olasılık sıfır. Demek ki, Belmonte G \circ F stratejisine göre koşarsa 1 olasılıkla Osmin’e yakalanmadan Konstanze’ye kavuşabiliyor. \blacksquare.

Yazıyı noktalarken, Belmonte yukarıdaki pozisyon fonksiyonuna göre hareket ettiği zaman ne olduğunu tekrar yorumlamaya çalışalım. Belmonte, içerisinde bulunduğu an Cantor kümesinde olmadığı sürece o an üzerinde bulunduğu noktada bekliyor. Dolayısıyla Belmonte’nin hemen her an durduğunu söyleyebiliriz. Öte yandan, Belmonte’nin pozisyon fonksiyonu uzay dolduran bir eğri olduğuna göre Belmonte koşusunun sonunda arenadaki her noktadan geçmiş oluyor.

Demek ki, Belmonte az önce gözümüzün önünde hemen hiçbir an hareket etmeden her yeri dolaştı. Sizi bilemem ama bir önceki cümleyi her okuduğumda şöyle oluyorum.

the_scream

C.N.