[S. 8] “Matematik bir dildir” goygoyu üzerine (Bölüm 1)

İşlerim nedeniyle uzun süredir bloga yeni yazı ekleyememiştim. Bugün fırsatını bulduğum için uzun süredir hakkında yazmak istediğim bir konuyu ele almaya karar verdim. [S] serisinin bu yazısında sosyal medyadaki popüler bilim platformlarında git gide daha çok gözlemlemeye başladığım bir goygoyu ele alacağız. Kendisine pozitif bilimlerin matematik kullandığı söylenen geniş halk kitlelerinin ve üniversiteli yarı-entelektüel bilim sever dimağların sıklıkla dile getirmekten çekinmediği bir goygoy: Matematik bir dildir.

Pozitif bilimlerde, özellikle fizikte, ortaya konan kuramların (çoğu zaman ileri derecede matematik gerektiren) matematiksel modeller üzerine oturtulduğu, dolayısıyla da matematik disiplininin pozitif bilimlerin perspektifinden ortaya konan modeller için bir araç ve dil görevi gördüğü doğrudur. Buna kimsenin karşı çıkabileceğini sanmıyorum.

Öte yandan, eğer siz “pozitif bilimler perspektifinden matematik bir araç ve dil işlevi de görevi görür” demek yerine “matematik bir dildir” derseniz, insanlığın pozitif bilimlerden de eski olan bu kadim disiplininin doğasıyla ilgili sergilediğiniz cahillikten ötürü kemikleri sızlayan büyük matematikçi David Hilbert mezarından kalkıp kafanızda odun kırabilir, benden söylemesi!

Yazının gelişme bölümüne geçmeden önce neden “matematik bir dildir” iddiasının içi boş bir söylem olduğunu bir analoji üzerinden anlatayım.

“Matematik bir dildir” demenin “müzik bir işitsel öğedir” demekten hiçbir farkı yok. Matematik pozitif bilimler için bir dil ve araç işlevi mi görüyor? Müzik de film sektöründe eserlerin arka planını dolduran işitsel öğe işlevi görüyor. Peki “müzik filmlerde arka planı dolduran işitsel öğedir” dersem doğru bir tespit mi yapmış olurum? Hayatında sadece filmlerde müzik dinlemiş birisi için evet, eğlenmek için ya da estetik haz almak amacıyla da müzik dinlemiş birisi için hayır.

Nasıl ki Jimmy Page bestelerini bir filmde çalınmak üzere yazmadıysa, bir matematikçi de eserlerini birilerine araç olsun diye yazmak zorunda değil. Bir matematikçi bunu tercih edemez mi? Edebilir. Aynı John Williams‘ın pek çok ünlü filme beste yapmayı tercih ettiği gibi. Lakin çoğu pür matematikçinin bunu tercih etmediğini söyleyebilirim.

Matematik nedir?

Yazının bu bölümünde kendisi basit ama cevaplaması zor bir soruya odaklanalım: Matematik nedir?

Bu soruya matematiği sosyal bir uğraş olarak ele alıp tarihsel bir perspektiften cevap vermek istiyorsanız sizi matematik tarihine kaba bir bakış sağlayan şu Wikipedia sayfasına alalım. Göreceksiniz ki, bu bakış açısıyla matematik, insanların çeşitli ihtiyaçlarına cevap vermek için ortaya çıkmış, zaman içerisinde evrilip pratik kaygıların yanında felsefi kaygılarla da yapılmaya başlanmış, daha ilerleyen zamanlarda mühendislik ve pozitif bilimlerle iç içe girmiş, modern zamanlarda da hem diğer disiplinlere yardımcı olabilen hem de kendi içerisinde oluşturduğu soyut (ve çoğunlukla işe yaramaz) alanlar da barındıran bir disiplin.

Eğer matematik nedir sorusunu tarihsel perspektiften değil de, yöntemsel perspektiften yanıtlamak istiyorsanız cevap basit: Matematik, Öklit’ten beri, bir takım soyut objelerle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işidir.

(Öklit’ten önce de matematik yapılıyordu ancak aksiyomatik yöntemi belirgin olarak ortaya koyan ilk kişi Öklit’tir. Matematik dediğimiz disipline gücünü veren ve kendisini karakterize eden şey de aksiyomatik yöntemdir.)

Bu geniş tanıma karşı çıkmaya çalışmanız çok olası: Ne yani, her soyut objeyle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işi matematik midir? Evet, öyledir.

Öte yandan, sizin hakkında çıkarım yaptığınız objeler, aksiyomlarınız ve kanıtlarınız diğer insanlar için ilgi çekici değilse, yaptığınız şeye başka matematikçiler tarafından değer verilmeyeceği için, yaptığınız şey yöntemsel olarak matematik olsa bile pratikte matematik olarak yaftalanmayabilir.

Ne demek istediğimi daha iyi anlamak için tekrar müzik örneğine gidebiliriz. Müzik yapmak, yöntemsel olarak, notaları uygun şekilde yan yana dizmekten ibarettir. Öte yandan, notaları uygun şekilde yan yana dizen her kişinin yaptığı şeye müzik demeyiz. Bu noktada matematiğin (ya da benzer şekilde müziğin) ne olduğuna kesin bir sınır çizmek zor. Bir tür I know it when I see it durumu söz konusu. Bu bağlamda, sanıyorum ki neyin matematik olduğuna uzun vadede karar verecek olan matematikçi komünitesidir diyebiliriz. Her neyse, ana konuya dönelim. Ne diyorduk?

Matematik çeşitli soyut (matematiksel) objelerle ilgili tümdengelimsel çıkarım yapma işidir. Sadece bu tanıma bakarak bile “matematik bir dildir” söyleminin neden içi boş olduğu görülebilir. Matematiği bir dil olarak görmek, matematiği uğraştığı soyut objelere, daha doğrusu, bu objelerin temsillerine indirgemektir. Öte yandan, matematik bu soyut objelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkiyi tümdengelimsel yöntemlerle bulma sürecinin kendisidir.

Euler’in teoremi

Gelin size bir hikaye anlatayım. Çizge kuramı denen matematik alanının ortaya çıkış hikayesi. Prusya‘nın Königsberg kentinde iki adayı ana karalara bağlayan yedi adet köprü varmış. Bu köprülerin kara parçalarına ve birbirlerine göre pozisyonu şu şekilde:

Nereden akıllarına geldiyse, insanlar her köprüden tam olarak bir kere geçilerek şehrin dolaşılıp dolaşılamayacağı sorusunu sormaya başlamışlar. Çeşitli denemelerden sonra böyle bir turu gerçekleştirmekte başarısız olunca, bu soruyu matematik tarihinin en mühim matematikçilerinden birisi olan Leonhard Euler‘e sormuşlar.

Euler’in bu problemi çözerken bugün çizge kuramı dediğimiz şeyin ortaya çıkmasına neden olmuş. Çizge kuramı neyle ilgilenir? Çizgelerle. Peki çizge nedir? Çizge dediğiniz şey kabaca birbirine çeşitli şekillerde bağlanmış noktalardır. Mesela aşağıdaki şekil bir çizgedir.

Bu çizgeyi Königsberg’teki köprüleri ve kara parçalarını temsil ediyor olarak düşünebiliriz. Dört mavi nokta adalar ve ana karaları, bu noktalar arasındaki bağlantılar da bu kara parçalarının birbirlerine kaç köprüyle bağlandığını temsil ediyor.

Königsberg’in köprü problemi neyi soruyor? Bu çizge üzerinde her kenar üzerinden bir kere geçerek tüm kenarlardan bir kere geçmiş olmamızı sağlayacak bir rota çizilebilir mi? Bu sorunun cevabı hayır.

Nedeni de çok basit: Diyelim ki öyle bir rota var ki her köprüden tam olarak bir kere geçebiliyoruz. Bu rota üzerinde hareket ederken, başladığımız ve bitirdiğimiz hamleler haricinde, her giriş yaptığımız mavi noktadan çıkış da yapıyoruz ve her çıkış yaptığımız mavi noktaya bir yerden giriş yapıyoruz. Demek ki, başladığımız ve bitirdiğimiz mavi noktalar haricindeki tüm mavi noktalar için, bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı çift olmalı. Peki rotamıza başladığımız ve bitirdiğimiz mavi noktalar ne olacak:

• Eğer başladığımız ve bitirdiğimiz noktalar aynıysa, bu durumda bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı da çift olmalı.
• Eğer başladığımız ve bitirdiğimiz noktalar farklıysa, bu noktalarla bağlantılı kenar sayısı tek olmalı.

Demek ki, eğer böyle bir tur mümkün olsaydı, ya tüm noktaların bağlantılı olduğu kenar sayısı çift olmalıydı ya da bağlantılı olduğu kenar sayısı tek olan tam olarak iki tane nokta olmalıydı. Ancak Königsberg çizgesindeki tüm noktaların bağlantılı olduğu kenar sayısı, yani dereceleri, tek. Demek ki Königsberg çizgesinde böyle bir tur atılamaz.

Az önce Euler’in bir teoremini kanıtladık. Sade, şık ve zekice.

Nesneler ve aralarındaki ilişkiler

Çizgeler nerelerde kullanılıyor? Nerelerde kullanılmıyor ki?! Bilgisayar bilimi, fizik, … Çalıştığı objeler çizgelerle temsil edilebilecek ve bu çizge yapısından bilgi edinebilecek herhangi bir disiplin çizgeleri kullanabilir. Dolayısıyla denebilir ki Euler Königsberg köprüleri problemini çözerken ortaya ileride pek çok disiplinin kullanacağı bir dil ortaya koymuş, çizgelerin dili.

Peki, Euler’in amacı ortaya çizge kavramını mı koymaktı? Hayır. Çizgeler, Euler’in Königsberg köprüleri problemini gereksiz detaylardan arındırarak doğru şekilde temsil edebilemek için ortaya attığı bir yan ürün.

Peki, Euler bu yan ürünü ortaya koyduğunda mı matematik yapmış oldu? Hayır. Yukarıda sunduğumuz teoremini kanıtladığında (ortaya bir çıkarım koyduğunda) matematik yapmış oldu, ki bu süreç Königsberg köprülerini çizge olarak temsil etmesini de kapsıyor.

Matematiksel nesneler, matematiksel nesnelerdir. Matematik, bu matematiksel nesneler arasındaki ilişkileri tümdengelimsel olarak inceleme işidir.

Dolayısıyla, lafın gelişi, fizikçiler manifoldları, Hilbert uzaylarını, grupları, … kullanıyor diye matematiğe “fiziğin dilidir” gibi bir yakıştırma yaparsanız, dünyaya bir safsata kazandırmış olursunuz. Matematik, manifoldlar, Hilbert uzayları, gruplar değildir; bu nesnelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri çalışmaktır.

***

Yazının geri kalanında, (ideal) bir matematikçinin matematik yapma motivasyonunun bilme isteği ve estetik haz almak gibi felsefi ve sanatsal gerekçelerden kaynaklandığını anlatmayı planlıyordum. Lakin bu topa girersek bu yazıyı bitiremem. Bu yüzden, tüm bunları yazının daha sonra yazacağım ikinci bölümüne bırakalım.

C.N.

Not: İşbu yazıdaki iki resim de Wikipedia’nın Königsberg’in yedi köprüsü sayfasından alınmıştır.