[GM. 3] Iraksak serileri toplamak ve -1/12

GM serisinin bu yazısında ıraksak serileri toplamak için ne gibi yöntemler olduğunu göreceğiz. Yazının ana temalarından birisi Numberphile denen YouTube kanalının ilgi çekmek için geniş halk kitlelerinin kafasını karıştırmak suretiyle kullandığı

1+2+3+\dots=\frac{-1}{12}

eşitliği olacak. Bu eşitliğin hangi bağlamda doğru olduğunu anlamaya çalışacağız. Benzer şekilde

1-1+1-1+\dots=\frac{1}{2}

ve

1-2+3-4+\dots=\frac{1}{4}

eşitliklerinin de hangi bağlamda doğru olduğunu öğreneceğiz.

Yazının başından çeşitli uyarılarda bulunmak istiyorum. Hayır, bu teoremlerin kanıtları ilgili toplamlara s dedikten sonra eşitlikleri cebirsel olarak manipüle edip ilgili s değeri bulunarak yapılmıyor. Numberphile ve çeşitli diğer YouTube videolarında görebileceğiniz bu argümanların kanıtladığı şey aslında şu: Eğer bu serilere (daha sonra göreceğimiz) belirli özellikleri sağlayan uygun bir toplam atama yöntemi varsa, o zaman bu serilerin toplamları ilgili sayılar olmalı. Öte yandan böyle toplam atama yöntemlerinin neden var olması gerektiği açık değil.

Toplam atama yöntemi derken neyi kastediyorum? Sonsuz toplamları bırakıp önce sonlu toplamlarla ilgilenelim.

2+2 niye 4 eder?

Matematik Öklit’ten beri belitsel olarak işleyen bir disiplindir. Bunun anlamı şu, matematikte çeşitli belitleri doğru kabul ederiz ve mantıksal çıkarımlar yaparak teoremler kanıtlarız.

Bundan dolayıdır ki matematik diğer bilimlerden farklı olarak kesindir. Bir kanıtın doğru olup olmadığı mekanik olarak kontrol edilebilir. Dolayısıyla, eğer bir kanıt doğruysa, farklı bir mantık sisteminde çalışmadığınız ya da belitlerinizi değiştirmediğiniz sürece doğru olarak kalacaktır. Bunları niye anlattım?

2+2=4 eşitliği neden doğrudur? Çarpım tablosunda yazdığı için mi? Yoksa her || ile || çokluğunu yan yana getirdiğimizde |||| çokluğunu elde ettiğimizi gördüğümüz için mi? İkisi de değil. Eğer 2+2’nin 4 ettiğini kanıtlamak istiyorsak önce bir belitsel sistem seçmeli, daha sonra 2, 4 ve + sembollerinin ne anlama geldiğini bu belitsel sistem içerisinde tanımlamalı, daha sonra da bu eşitliği belitlerimizi kullanarak türetmeliyiz. Bunu yapmanın pek çok yolu var. Mesela belitsel sistemimizi sadece doğal sayılarla ilgilenen Peano belitleri seçersek 2+2’nin 4 ettiğini kanıtlamak çok zor değil. Bunun yerine, neredeyse bilinen tüm matematiği içerisinde yapabileceğiniz ZFC belitleri altında çalışırsak, doğal sayıları ve toplama işlemini çeşitli kümeler olarak inşa ettikten sonra 2+2’nin 4 olduğunu kanıtlayabiliriz. Matematik Dünyası‘nın eski sayılarından 2×2 özel sayısını okursanız 2×2’nin neden 4 olduğunu öğrenebilirsiniz!

Tüm bunları niye yazdım? Matematiğin tümdengelimsel bir şekilde işlediğini gözünüze sokmak için. Dolayısıyla matematiksel bir iddiada bulunmak istediğinizde, iddianızdaki terimlerin ne olduğunu tanımlamalısınız ki belitlerimiz vasıtasıyla doğru ya da yanlış olduğunu kanıtlamaya çalışalım.

Sonlu toplamların ne olduklarını ve nasıl yapıldıklarını biliyoruz. Peki ya sonsuz toplamlar?

Yazıya devam etmeden önce gerçel sayıları inşa ettiğimizi ve diziler, seriler ve limit gibi temel calculus kavramlarını bildiğimizi varsayacağım. Burada gerçel sayılarla çalışmak için özel bir nedenimiz yok. Aslında çok daha geniş bir çerçevede çalışabiliriz ama yazı GM serisinde olduğu için geniş halk kitlelerinin kafasını karıştırmamak adına herkesin aşina olduğu bir sayı sisteminde çalışmak daha iyi olacaktır.

Yakınsak ve ıraksak seriler

Elimizde elemanları gerçel sayılar olan bir (a_n)_{n \in \mathbb{N}^+} dizisi olsun. Sonlu toplamların ne olduğunu bildiğimizi varsaymıştık. Her n \in \mathbb{N}^+ için S_n = a_1+a_2+\dots+a_n  olarak tanımlayalım. Üniversitede calculus dersi almış her zeki, çevik ve ahlaklı gencin bilmesi gerektiği gibi eğer öyle bir L gerçel sayısı varsa ki

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n=L

oluyorsa bu durumda

\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=a_1+a_2+\dots

serisine yakınsak bir seri diyoruz. Eğer bir \Sigma_{n=1}^{\infty} a_n serisi yakınsak değilse, bu durumda ona ıraksak seri diyoruz. Bir seri yakınsaktır ancak ve ancak kısmi toplamlar dizisinin bir limiti varsa. Iraksak serilere örnek olarak

\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots

\Sigma_{n=1}^{\infty} n=1+2+3+\dots

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}=1-1+1-1+\dots

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n=1-2+3-4+\dots

serilerini gösterebiliriz. Bu serilerin hiçbirinin kısmi toplam dizisinin limiti yoktur.

Biraz düşünürseniz siz de kolayca kanaat getirebilirsiniz ki bu tanım sahip olduğumuz sonsuz toplam sezgisiyle büyük ölçüde örtüşen bir tanım: Eğer sonsuz tane sayıyı toplamaya çalışıyorsak, sayıları teker teker eklemeye devam ettiğimizde elde ettiğimiz kısmi toplamın nasıl bir davranış sergilediğine bakmalıyız, değil mi?

Çeşitli serilerin kısmi toplamlarının limiti olmadığını görüyoruz. Dolayısıyla bu toplam tanımı altında toplanamayan seriler var. Peki bu noktada pes mi etmeliyiz?

Iraksak serileri toplamak

Hikaye odur ki gelmiş geçmiş en önemli matematikçilerden biri olan David Hilbert bir öğrencisinin şair olmak için dersini bıraktığını öğrendiğinde “İyi, zaten matematikçi olabilmek için yeterli hayal gücü yoktu.” demiştir.

Bu anekdotu anlatma sebebim şu. Üç beş kısmi toplam dizisinin limiti yok diye matematikçiler ıraksak serileri toplamaya çalışmaktan vazgeçecek değil ya?!

Yukarıda bir toplama tanımı yaptık. Bir \Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n serisinin toplamının ne olduğuna kısmi toplamlar dizisinin limitine bakarak karar verdik. Daha sonra fark ettik ki elimizde bu tanım altında toplanamayan bir yığın seri var.

Peki öyle bir toplam tanımı yapabilir miyiz ki hem yakınsak serileri toplamaya çalıştığımızda yukarıda yaptığımız standart toplam tanımıyla örtüşsün hem de bazı ıraksak serileri de toplamamıza olanak versin? Bu sorunun yanıtı olumlu.

Cesaro toplamı

Verilen bir (a_n)_{n \in \mathbb{N}} dizisi için \Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n serisinin Cesaro toplamını şu şekilde tanımlayalım.

\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=L \Leftrightarrow L=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_1+S_2+\dots+S_n}{n}

Yani bir serinin Cesaro toplamı L‘dir ancak ve ancak serinin kısmi toplamlarının ortalamalarının limiti L ise. Biraz uğraşla gösterilebilir ki eğer bir \Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n serisi standart toplam tanımı altında yakınsaksa ve toplamın değeri L ise bu durumda bu serinin Cesaro toplamı da L‘dir. Öte yandan bunun tersi doğru olmak zorunda değil. Mesela

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}=1-1+1-1+\dots

serisinin kısmi toplamları dizisine baktığımızda elde edeceğimiz dizi

(S_n)_{n \in \mathbb{N}^+}=(1,0,1,0,\dots)

olacaktır. Bu kısmi toplamlar dizisinin ilk n teriminin ortalamasını alarak elde ettiğimiz diziyse

(\frac{S_1+S_2+\dots+S_n}{n})_{n \in \mathbb{N}^+}=(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\dots)

olacaktır. Bu dizinin limiti \frac{1}{2} olduğundan 1-1+1-1+\dots serisinin Cesaro toplamı \frac{1}{2} olur.

Demek ki Cesaro toplamı standart toplama tanımını genelliyor ve ıraksak bazı serilere de toplam atamamıza izin veriyor. Peki Cesaro toplamı altında toplanamayan seriler var mıdır? Evet vardır. Örneğin

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n=1-2+3-4+\dots

serisinin Cesaro toplamı yoktur zira kısmi toplamların ortalamasını alarak elde ettiğimiz dizinin limiti yoktur. Demek ki Cesaro toplamıyla da toplayamadığımız seriler var.

Hikaye burada bitecek mi? Tabii ki hayır. Aynen Cesaro toplamının standart toplam tanımını genellemesi gibi Cesaro toplamını genelleyecek bir tanım yapmayı deneyebiliriz. Cesaro toplamını tanımlarken ne yapmıştık? Kısmi toplamların limitine bakmak yerine kısmi toplamların ortalamalarının limitine bakmıştık. Peki bir adım daha öteye gidip kısmi toplamların ortalamalarının ortalamalarının limitine bakarsak ne olacak?

Biraz uğraşla bu yaptığımız yeni toplam tanımının Cesaro toplamını genellediği gösterilebilir. Üstüne üstlük, bu tanım altında

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n=1-2+3-\dots=\frac{1}{4}

olacaktır. Peki bu yeni toplam tanımıyla bu sefer tüm serilere sonlu bir toplam atamayı başarmış olabiliriz miyiz? Ne yazık ki hayır.

Bu tanım altında da toplanamayan seriler var. Mesela

\Sigma_{n=1}^{\infty} n=1+2+3+\dots

serisi bu tanım altında da toplanamaz. Peki bu bizim için bir engel mi? Değil.

Durmak yok, yola devam! Yeni bir tanım yapalım. Aynen Cesaro toplamını genellediğimiz gibi, bu yeni tanımı da genelleyelim. Kısmi toplamların ortalamalarının ortalamalarının limitine bakmak yerine kısmi toplamlarının ortalamalarının ortalamalarının ortalamalarının limitine bakalım. Bu da yetmezse kısmi toplamların ortalamalarının ortalamalarının… Cesaro toplamını bu şekilde ya da başka şekillerde genellemek mümkün.

Peki bu toplam tanımlarını kafamıza göre mi yapıyoruz?

Sonsuz serilere toplam atamaya çalışmak

Sonsuz serilere toplam atayabilmek için yaptığımız bu tanımları kafamıza göre yapmıyoruz. Yaptığımız tanımların belirli özellikleri sağlamasını istiyoruz.

Birinci olarak, yaptığımız tanım düzgün olmalı. Yani standart toplam tanımı altında yakınsak olan serilere aynı değerleri atamalı.

İkinci olarak, yaptığımız tanım doğrusal olmalı. Yani eğer \Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=L_1 ve \Sigma_{n=1}^{\infty}\ b_n=L_2 oluyorsa, her c sabiti için \Sigma_{n=1}^{\infty}\ c \cdot a_n+b_n=c \cdot L_1+L_2 olmalı.

Üçüncü olarak, yaptığımız tanım stabil olmalı. Yani eğer \Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=L oluyorsa, bir M pozitif tam sayısı için ilk M terimi atarak elde ettiğimiz \Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_{n+M} serisini topladığımızda L-a_1-a_2-\dots-a_{M} bulmalıyız.

İlk özelliğin sağlanmasını istiyoruz çünkü yapacağımız toplama tanımı sezgisel olarak bize anlamlı gelen standart tanımla örtüşmeli. Diğer iki özelliğin sağlanmasını istiyoruz çünkü bu özellikler sağlanmadan bir serinin toplamını bulmak için herhangi bir cebirsel manipülasyon yapmak mümkün değil. Hani YouTube videolarında adam seriyi kaydırıyor, sabitlerle çarpıyor, paranteze alıyor ve terim terim topluyor ya. Hah işte, o işlemlerin hepsini ilgili seriye toplam atayan metodun bu özellikleri sağladığı varsayımı altında yapıyor.

Mesela Cesaro toplamı bu özelliklerin üçünü de sağlıyor. Peki bu özellikleri sağlayan başka toplam metodları var mı?

Abel toplamı

Yazının bu bölümünde 27 yaşındayken tüberkülozdan ölen Norveçli matematikçi Niels Hendrik Abel‘in ardından isimlendirilen Abel toplamını göreceğiz.

Verilen bir \Sigma_{n=0}^{\infty}\ a_n serisi için

f(x)=\Sigma_{n=0}^{\infty}\ a_n x^n

kuvvet serisini tanımlayalım. Eğer bu kuvvet serisinin 0 etrafındaki yakınsaklık yarıçapı 1 ise ve

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)=L

limiti varsa, bu durumda verilen serinin Abel toplamıL olarak tanımlayalım. Mesela Abel toplamı altında

1-2+3-4+\dots=\frac{1}{4}

olacaktır zira

1-2x+3x^2-4x^3+\dots

kuvvet serisinin |x|<1 değerleri için tanımladığı fonksiyon olan

\frac{1}{(1+x)^2}

fonksiyonunun 1 noktasındaki soldan limiti \frac{1}{4}. Bu noktada fark etmeniz gereken önemli bir ayrıntı bu seri için Cesaro toplamının Hölder genellemesiyle elde ettiğimiz sonucun aynısını Abel toplamıyla da elde etmiş olmamız. Aslında bu bir tesadüf değil. Eğer düzgünlük, doğrusallık ve stabillik özelliğini sağlayan bir toplam yöntemi bu seriye değer atabiliyorsa, bu durumda atadığı değer 1/4 olmak zorunda. Bunun nedeni de YouTube videolarında itiraz edilen argümanın ta kendisi.

Bu noktada tekrar vurgulama gereği duyuyorum. Bu cebirsel manipülasyon ilgili serinin değerinin 1/4 olduğunu kanıtlamıyor. Kanıtladığı şey şu: Eğer düzgünlük, doğrusallık ve stabillik özelliğini sağlayan bir toplam yöntemi bu seriye bir toplam atayabiliyorsa, bu durumda serinin toplamı 1/4 olmak zorunda. Kısaca o videolarda hasır altı edilen şey yapılan cebirsel manipülasyona izin veren ve ilgili seriye toplam atayabilen bir yöntemin var olduğunun kanıtlanması.

Yazının bu bölümünü noktalarken Abel toplamının Cesaro toplamını genelleyen bir toplam yöntemi olduğunu ve listelediğimiz üç özelliğe de sahip olduğunu belirtme gereği duyuyorum.

Başka başka…

Cesaro toplamını gördük. Bunun (aslında aynı olan) iki farklı genellemesini gördük. Abel toplamını gördük. Sonsuz serilere toplam atamak için başka yöntemler var mı?

Daha pek çok yöntem var ancak bu blog yazısında yukarıdakilerden daha fazlasını görmeyeceğiz. Bunun iki nedeni var. Birincisi, ıraksak seriler matematiğin hakkında koca koca kitaplar ve onlarca makale yazılmış bir alanı. Dolayısıyla konunun küçük bir blog yazısında “özet” geçilmesi mümkün değil. İkincisi, konunun uzmanı bir insan değilim. Şu ana kadar anlattığım yöntemler ıraksak serilere toplam atamak için bilinen en popüler yöntemler. Size daha fazlasını aktarabilmek için benim de ilgili kitapları açıp okumam gerekiyor. Dürüst olmak gerekirse, öğrenmek istediğim ve öğrenmem gereken onca başka konu varken vaktimi buna harcamak istemiyorum. Dolayısıyla yok size başka toplam yöntemi.

Konuyla ilgili daha çok şey öğrenmek istiyorsanız yukarıda yazdığım yöntemleri ve çok daha fazlasını anlatan G. H. Hardy‘nin “Divergent Series” kitabını okuyabilirsiniz. Anladığım kadarıyla konu üzerine yazılmış önemli referans kitaplardan bir tanesi bu kitap. Bu kitabı okumasanız bile ilgili Wikipedia sayfasına ve bu sayfadaki referanslara göz atarak konu hakkında araştırma yapmanız gereken kaynakları görebilirsiniz.

Yazının sonuna yaklaşırken ünlü

1+2+3+\dots=\frac{-1}{12}

eşitliğine geçebiliriz. Öncelikle şunu bilmenizde fayda var. Düzgünlük, doğrusallık ve stabillik özelliklerini sağlayan hiçbir toplam yöntemi bu seriye bir toplam atayamaz. Bunun kısa bir kanıtı şu Wikipedia sayfasında bulunabilir. Demek ki bu seriye toplam atayabilecek her yöntem bu özellikleri sağlayamayacak kadar “garip” olmalı.

Bu seriye toplam atamak için Ramanujan toplamını kullanabiliriz. Bu cümleyi okuyunca az sonra Ramanujan toplamı hakkında konuşmaya başlayacağımı sanmış olabilirsiniz. Hayır, ne yazık ki konuyla ilgili bilgim an itibariyle sınırlı olduğu için kaş yaparken göz çıkartıp yanlış bilgilendirme yapmamak için sadece kaynak göstereceğim. Hardy’nin yukarıda bağlantısını verdiğim kitabının 323. sayfasından Bölüm 13.5’ten itibaren okumaya başlarsanız, bu toplam tanımının nereden geldiğini görebilirsiniz.

İlgili eşitliğe anlam vermenin başka bir yolu da Riemann zeta fonksiyonunu kullanmak. Riemann zeta fonksiyonu gerçel kısmı 1’den büyük karmaşık sayılar için

\zeta(s)=\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

şeklinde tanımlı bir fonksiyon. Buradaki sonsuz toplam bildiğimiz standart sonsuz toplam. Gerçel kısmı 1’den küçük eşit olan s değerleri içinse bu toplam yakınsak değil. Öte yandan çeşitli teknikler kullanarak bu fonksiyonu kompleks düzlemin s=1 hariç her noktasına fonksiyonun güzel özelliklerini koruyacak şekilde genişletmek mümkün. Bunu yaptıktan sonra da fonksiyon -1 noktasında tanımlı hale geliyor ve bu noktadaki değeri \frac{-1}{12} oluyor. Bunu da

\zeta(-1)=1+2+3+\dots=\frac{-1}{12}

olarak yorumlamak mümkün. Benzer teknikler kullanılarak başka serilere nasıl toplam atandığını görmek için şu sayfayı okuyabilirsiniz.

Sözün özü

Sözün özü, ıraksak serilerle ilgili sağda solda gördüğünüz sezgi karşıtı duran eşitliklerin hepsi aslında kendi bağlamlarında doğru eşitlikler. Burada anahtar kelime bağlam.

Yazının başında matematiğin tümdengelimsel olmasını boşuna okuyucunun gözüne sokmaya çalışmadım. Birisi size ıraksak bir seri verip bu serinin toplamının ilk bakışta saçma gözüken bir değer olduğunu iddia ediyorsa, ilk yapmanız gereken şey “Burada seriye toplam atamak için hangi tanım kullanılıyor?” sorusunu sormak.

Özellikle Ekşi Sözlük’te çok görüyorum Grandi serisine ya da 1-2+3-4+… gibi serilere sonlu toplamlar atandığını görüp herhangi bir Google araması bile yapmadan “Bu saçmalık, böyle şey olmaz; ona toplama S diyemezsin tamam mı yae!!11!111” diye çıkışan tipleri. Bak canım arkadaşım, bak canım kardeşim. Üzerine en az yüz küsür yıldır çalışılan şeylere üniversitede öğrendiğin iki üç mühendislik Calculus dersiyle herhangi bir araştırma yapmadan “saçmalık” demek cahilliğin eli bayraklı önde gidenidir. Rica ediyorum yapmayın şöyle şeyler. Bu güruha lafımızı çaktığımıza göre diğer güruha geçebiliriz.

Ayrıca buradan ıraksak serileri barındıran eşitlikleri sağda solda bağlamından kopartarak kullanıp piyasa yaparak ortada çok mistik bir şey varmış gibi sunan yoldaşlara sesleniyorum. Bu güruha Numberphile de dahil. Yapmayın canım arkadaşım, yapmayın canım kardeşim. Sizin yüzünüzden insanlar matematiği saçmalık sanıyor. Farkındayım size çok ilginç gelen bir şeyle karşılaşmış durumdasınız ama bunu insanlara yaymadan önce bir araştırın. Daha sonra olayı olabildiğince kendi bağlamında sunup kaynaklar vererek insanları araştırmaya yönlendirin. Aksi halde neden 1-2+3-4+\dots=\frac{1}{4} olduğunu anlamadan ya da anlamaya teşebbüs etmeden bu eşitliği yazmanın ne manası var?

C.N.


“Les s´eries divergentes sont en g´en´eral quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune d´emonstration. On peut d´emontrer tout ce qu’on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfant´e tant de paradoxes. . . . Enfin mes yeux se sont dessill´es d’une maniere frappante, cara l’exception des cas les plus simples, par exemple les s´eries g´eom´etriques, il ne se trouve dans les math´ematiques presque aucune s´erie infinie dont la somme soit d´etermin´ee d’une maniere rigoureuse, c’est-a-dire que la partie la plus essentielle des math´ematiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les r´esultats sont justes il est vrai, mais c’est la une chose bien ´etrange. Je m’occupea en chercher la raison, probleme tres int´eressant.” -Niels Hendrik Abel, 16 Ocak 1826 tarihli bir mektubundan.

Reklamlar

[GM. 3] Iraksak serileri toplamak ve -1/12” üzerine 6 düşünce

  1. Kafamda deli sorular

    Oncelikle yazi icin tesekkurler, blogun motivasyonu super taktir ediyorum. Benim okuma motivasyonumdan daha guclu bir yazma motivasyonun var.

    Asaginda, kounya dair hazimsizligimi cok da derli toplu olmayan bir bicimde anlatmaya calisacagim.

    Oncelikle sonuclar bir yerden sonra counter intuitive, ve bunun beni rahatsiz eden bir tarafi var, sindirmesi zor oluyor. Isin asli quantum u da cok zor kabullenmistim. Usta, “shut up and calculate” dedi, (gerci sonradan ortaya cikti ki dememis ama biz o zamanlar dedi zannediyorduk*) biz de devam ettik.

    Otsinde birazda su var;

    “2+2=4” neden dogrudur?, cunku gercek hayatta pek cok cokluk icin; (hemen hemen) her || ile || çokluğunu yan yana getirdiğimizde |||| çokluğunu elde ederiz. Olasi sonsuz beyit kombinasyonlari icerisinde Peano, ya da ZFC beitlerinin bizim yazimizin icerisinde yer aliyor olmasinin sebebi, bu beitler sayesinde insa ettigimiz mantik sistemlerinin, gercek hayatta karsilastigimiz gercekligi modellememize yardimci oluyor olmalari.

    yani aslinda surec soyle isliyor

    a) 2 cubugun yanina 2 cubuk getiriyorum 4 cubuk oldugunu goruyorum
    b) Bunu modelliyorum
    c) modelim bana, daha once hic gormedigim 10^20 cubugun yanina 10^20 cubuk getirdigimde ne olacagini soyluyor.
    d) modelimin tahminleri, gercek hayatta daha once karsilasmadigim durumlarda neler olacagini tutarli bir sekilde soyledigi surece modeli kullanmaya devam ediyorum

    irrasyonel sayilardan, complex sayilara, oradan manifoldlarin siniflandirilmasina, ya da limite hepsi bir sekilde ise yariyor. Yani baslangictaki olculebilir birseyleri alip, daha sonraki bir zamanda / ya da baska bir durumda olculebilir baska bazi seylerin degerini tahmin etme surecinde aradaki akil yurutmenin formel ve otomatize edilmis halinin araclari oluyor bu toolar hep beraber.

    Zaten daha buyuk resimde bir yerlere oturmasa, baska bir sekilde anlatmak gerekirse divergent serileri toplamaya dair bir ihtiyac var olmasa, kimse yuzlerce yil divergent serileri hangi on kabuller altinda toplayabiliriz diye kafa yormaz. Iste “divergent serileri toplayamama rahatsizligi” nereden cikti, onu tam goremedim.

    (Bu noktadan itibaren yazacaklarim yeterince acik olmayabilir, elimden geleni yapacagim, sonucu ise asagida hep beraber gorecegiz)

    Bence herhangi bir meseleyi anlamak, o ozel duruma benzer baska durumlarda (ya da cesitli limit durumlarinda), sistemin davranisina dair cikarimlar yapabilmek ile de iliskilidir; ve ben o cikarimlari yapamiyorum.

    Mesela birisi bana baska bir divergent seri verse ve toplam 1/17 ye esit dese, ben “hadi canim o serinin toplami pozitif cikamaz, islemlerini kontrol et o sonuc negatif olmali” diyebilecek bir ic goru yakalayamiyorum.

    (Yukaridaki sorun benim konuya iliskin cehaletimden kaynakli olabilir, belki konuya yillarini vermis insanlarin yukaridakine benzer ic goruleri vardir.)

    *http://scitation.aip.org/content/aip/magazine/physicstoday/article/57/5/10.1063/1.1768652

    Beğen

    • “Divergent serileri toplayamama rahatsizligi” kısmı ile başlayım. Euler zamanında matematik şimdiki kadar rigorous yapılmıyordu. Euler’in pek çok kanıtının günümüz standartlarında muğlak olduğu söylenebilir.

      Anladığım kadarıyla Euler çalışmalarında çeşitli ıraksak serilere toplamlar atamış. Öte yandan yaptığı bu şeylerin herhangi bir temellendirmesi yok. Daha sonra Cauchy yakınsak serilerin bugün bildiğimiz tanımını verince de (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy.html) insanlar ıraksak serilerle ilgilenmeyi bırakmış, ta ki daha sonra yukarıdaki yöntemlerle çeşitli ıraksak serilere rigorous bir şekilde toplam atanabileceği fark edilene kadar.

      Dolayısıyla ortada ıraksak serileri toplayamamaktan kaynaklı özel bir rahatsızlık yok. Cauchy’den önce zaten rigorous bir yakınsak-ıraksak seri ayrımı olmadığı için insanlar ellerine geçen serileri toplamaya çalışmışlar. (Mesela Grandi serisinin tarihiyle ilgili şöyle bir yazı var: https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Grandi%27s_series)

      Anlatmak istediğim şu. Iraksak serilere toplam atanmasının bize sezgi dışı gelmesinin tek nedeni Cauchy’nin zamanında yakınsaklık tanımını bugün bildiğimiz şekilde yapmış olması. Eğer paralel bir evrende Cauchy yakınsaklık tanımını yapıyorken kısmi toplamların limiti yerine ortalamalarının limitine bakıyorsa, büyük ihtimalle o evrendeki insanlar için 1-1+1-1+…=1/2 olması “doğal” bir sonuç olacaktır.

      Dolayısıyla ıraksak serilere atanan toplamların bizim sezgimize ters gelmesi büyük ihtimalle sezgimizin bugünkü tanıma uygun şekilde şekillenmesinden kaynaklı.

      ***

      Modelleme kısmına gelelim. Matematikteki çeşitli kavramların motivasyonunu hep dışarıda gördüğümüz şeyleri modellemekten aldığı doğru ancak matematiğe bu şekilde bir araca indirgemeyi doğru bulmuyorum zira (şu anki) matematikçilerin çoğunun motivasyonu bu değil. Konumuz bu değil tabii. Devam edeyim.

      Eğer ıraksak serilere atanan bu değerleri “uygulamada” görmek istiyorsan bulabildiğim Wiki sayfalarını atayım. Mesela Grandi serisi için şu sayfaya (https://en.wikipedia.org/wiki/Occurrences_of_Grandi%27s_series#In_physics) ve 1+2+3+… için şu sayfaya (https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF#Physics) bakılabilir. Mevzubahis fizik konuları hakkında hiçbir fikrim olmadığı için bu toplamların hangi hesaplamalarda nasıl ortaya çıktığını bilmiyorum. Ancak anladığım kadarıyla ıraksak serilere atanan bu değerlerden bazıları hesaplamarda “yerine oturuyor”. Fizikçilere sormak lazım nasıl olduğunu.

      Bunu biraz şeye benzetiyorum. Dirac delta fonksiyonu gerçek anlamda bir fonksiyon değil. Öte yandan pratikte kendisini kullanma şeklimize bakarak kendisini rigorous hale getirecek “distribution” kavramını tanımladığımızda kendisiyle yapmak istediğimiz hesaplamaların hepsini matematiksel olarak doğru bir şekilde gerçekleştirebiliyoruz. Burada yaptığımız şey ilk bakışta rigorous olmayan bir şeyi alıp sezgisel olarak doğru olması gerektiğini düşündüğümüz hesaplamalarda kullanabilecek bir şekilde rigorous hale getirmek.

      Iraksak serilere değer atamak da bir anlamda böyle düşünülebilir. Bir yerlerde karşımıza çıkan bir seri var ve bu seriyi toplamak istiyoruz. Cauchy’nin tanımı sağolsun toplayamıyoruz. So what? Toplamamıza imkan verecek yeni bir tanım yapalım.

      Beğen

    • Bu arada bu konu tamamen farklı bir yere gideceği için girmek istemedim ama 2+2=4 konusundaki görüşüne tam katılmıyorum. Zira yanlış anlamadıysam aritmetik önermeleri (Kant’ın ayrımı üzerinden gidersek) sentetik önermeler olarak görüyorsun. Bu kısma karşı çıkacak pek çok insan var.

      Mesela ben aritmetik önermelerin doğruluklarının || ve || çoklukları bir araya geldiğinde |||| çokluğunun elde edilmesiyle alakası olmadığını düşünüyorum. Tam tersine 2+2’nin 4 olması 2, 4 ve +’nın tanımlarınca içeriliyor. Yani 2+2’nin 4 olması bir anlamda mantıksal bir zorunluluk. Tabii bu tamamen farklı bir tartışmanın konusu.

      Beğen

      • Burasi evet tartisma disinda ama kisaca durusumu daha acik bir sekilde belirtmek isterim.

        Bir seyin matematiken dogru olmasi demek baslangic aksiyonlarindan, hatasiz bir mantiksal sislsile ile turetilmis olmasi demek. Burada benim acimdan bir sorun yok. ‘2’, ‘+’, ‘4’, ‘=’ tanimlanir mantik yurutulur ‘2+2 = 4’ bulunur.

        Olay niye bu beyitleri sectik sorusunda, ‘2’, ‘+’, ‘4’, ‘=’ in tanimlarini neden boyle yaptik, burasi halledilirse buradan ‘2+2 = 4’ e mantikla ulasmakta sorun yok zaten. Denilebilir ki bambaska taminlar secip bambaska sonuclara da ulasabilirdik, evet yapabilirdik ama yapmadik (matematikciler haric yapmadik diyelim). Secilebilecek olasi sonsuz sayida farkli beyit kumelerinden “ZFC”‘yi sectik, niye? cunku bu gercek hayati modellememize olanak tanidi.

        Yani mesela “dirac delta function” u niye yarattik, gercek hayatta surekli gibi gozuken uzayda tam bir sureksizlik gibi duran noktasal bir parcacigi elektronu gozledik; bunu modellememiz gerekiyordu. Sadece bir noktada tanimli olan (zira elektron uzayda sadece bir noktada idi, yari capi yoktu mesela) ama islemler sonucunda sonlu degerler uretebilecek bir tool a ihtiyac vardi (zira elektronun varligi sonuclari etkliliyor ama abuk infinitiler yaratmiyor, onun yerine sistemde sonlu degisiklikler yapiyordu). Bizde bunu gorunce dirac delta fonksiyonunu yaptik (ben yapmadim Dirac yapti)

        “…: we wish a function to be 0 everywhere except at a point, and still to give a finite result. …” [1]

        [1] http://physics.unipune.ernet.in/~phyed/27.1/1191%20revised(27.1).pdf

        Beğen

        • Asıl konudan uzaklaşıyoruz ama bir iki noktaya değinmek istiyorum.

          Matematiksel kavramların ortaya çıkış nedenleri için “işimize yarıyor dışarıda gördüklerimizi modelliyoruz” şeklinde bir indirgeme yapmak doğru değil. Tarihsel olarak, belki geç 19. yüzyıla kadar yapılan matematiğin çoğunlukla dışarıda bir yerlerde karşılık bulduğu söylenebilirse bu artık doğru değil. Modern matematiğin azımsanamayacak bir kısmının “uygulamayla” ve “dış dünya” ile alakası yok. Olan kısımlarında da genelde mühendisler ve fizikçiler tarafından kullanılan şeyler geliştirilen şeylerin özel durumları oluyor.

          Niye ZFC belitlerini seçtik sorusuna gelelim. Spesifik olarak neden ZFC kümeler kuramını kullanıyoruz sorusunu cevaplamak için erken 20. yüzyıldaki “foundational crisis”, o dönemdeki matematik felsefesi, Hilbert okulu vs. gibi pek çok konuya girmek gerekecek. Ancak tahminimce amacın spesifik olarak ZFC hakkında konuşmak değil “kullandığımız belitleri kullanıyoruz çünkü kullanışlılar” gibi bir şey söylemekti.

          Bu iddia bir yere kadar doğru. Bugün matematiğin temeli olarak çoğunlukla* ZFC kümeler kuramını kullanıyoruz çünkü bildiğimiz matematiğin hemen hepsini içerisinde yapmamıza fırsat tanıyan bir framework sağlıyor. Öte yandan ZFC kümeler kuramı matematik için kullanışlı olduğundan dolayı başarılı bir “foundation”, fizik ya da mühendislik için değil.

          Mesela ZFC’nin C’si olan seçim belitinin (aksiyomunun) hiçbir fiziksel karşılığı ya da anlamı yok. Peki niye kabul ediyoruz? Çünkü belirli formülasyonları sezgisel olarak bize “apaçık doğru” geliyor. Daha önemlisi, lafın gelişi, her vektör uzayının bir tabanı olduğunu ya da kompakt uzayların çarpımının kompakt olduğunu kanıtlamak istediğimizde bu belite ihtiyaç duyuyoruz.

          Peki bu önermeleri niye kanıtlamak istiyoruz? Çünkü onları da başka yerlerde kullanacağız. Bu şekilde uzun bir zincir oluşturarak belki işin ucunun gerçek hayatta kullanışlı matematiksel modellere kadar vardığı söylenebilir. Ancak bu yol o kadar dolaylı ki “neden A belit sistemini değil de B belit sistemini seçiyoruz” sorusunun cevabına “çünkü matematiksel modellerimizde işe yarıyor” demek bir bestecinin “neden atonal değil de tonal müzik yapıyorsun” sorusuna “çünkü tonal müzikle yazdığım eseri dinleyen inşaat mühendisi çok mutlu olduğu için daha dayanıklı bir bina inşa etti” demesi gibi bir şey. O besteci tonal müzik yapmak istediği için tonal müzik yaptı, inşa edilen bina daha dayanıklı olsun diye değil. Atonal müzik de yapabilirdi, ki yapanlar da var. Bestecinin müzik yapma motivasyonu müziğin kendisi, o müziği kaç kişinin ya da kimin dinlediği değil.

          Kaldı ki, aynı belitin bir sonucu olarak içi dolu bir topu beş parçaya bölüp bu parçaları sadece öteleyip çevirerek aynı toptan iki tane elde edebileceğimizi de biliyoruz (https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox). Bu teoremin fiziksel hiçbir karşılığı yok. Bu örneği niye verdim? Matematiğin kendi belitleri dahilinde yarattığı dünya -her ne kadar ilk başta motivasyonunu dış dünyadan almış olsa da- aslında dış dünyadan tamamen kopuk bir dünya. Dolayısıyla matematiği “dış dünyayı modelleme ihtiyaçlarına” indirgemek pek doğru değil. Yanlış anlaşılmamak için ekleyeyim. Matematik dış dünyayı modellemek için kullanılmamalı demiyorum. Sadece günümüz matematiği ve matematikçilerin motivasyonu sadece buna indirgenemez diyorum.

          *: Son zamanlarda matematiğe yeni bir temel olarak Homotopy Type Theory (https://homotopytypetheory.org/book/) kullanmak isteyen “ayrılıkçılar” olsa da, bağnaz bir küme kuramcısı olarak kendilerini kınıyorum. “Ayrılıkçılar” arasında diğer bir tarafta da kökleri daha eskiye giden kategori kuramcıları var =)

          Beğen

    • Counter-intiutive demişsiniz ama… (bkz: http://www.dictionary.com/browse/intuition ) aslında çoğu şey (ve sonsuz adımı, “çokluğu”, matematiksel analizi vs. içeren her şey) içsel olmaktan ziyade bir alışkanlık sonucu kabullenilmiş değil mi? Intiution çok zayıf bir araç, ben bugün klasik mekaniği de içsel bir şekilde bilemiyorum, quantum mekaniğini de. Bir paradigmaya alıştıktan sonra da diğerine geçmek zor gelebilir… (Cauchy yakınsaklıktan Cessaro yakınsaklığına, ya da Riemann zeta fonksyon “eşit”liğine geçmek gibi)

      Beğen

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s