[S. 2] Saraydan imkansız kız kaçırma

S serisinin bu yazısında çözülmesi ilk bakışta imkansız gözüken bir kral-mahkum oyununu analiz edeceğiz.

***

… ve tam o sırada Belmonte, nişanlısı Konstanze’yi saraydan kaçırmak üzereyken Selim Paşa ve muhafızları tarafından yakalanır. Selim Paşa bu ihanetin cezası olarak Belmonte’nin kellesinin vurulması için emir vermek üzereyken merhamet gösterir ve Belmonte’ye yaşaması için bir şans vermek ister.

Komşu ülkelerdeki kralların mahkumlarına renkli şapkalar giydirdiği, iskambil kağıtları açtırdığı ve kapılar arasından seçim yaptırdığı hikayelere aşina olan Selim Paşa, ülkenin en donanımlı bilginlerini sarayına çağırtıp Belmonte için bir oyun hazırlanmasını ister, öyle ki bu oyun şimdiye kadarki tüm mahkum bulmacalarından daha zor olsun.

Bilginler üç gün sonra, her duyanın çözülmesinin imkansız olduğunu söylediği bir oyun hazırlarlar. Belmonte üçüncü günün şafağında hücresinden çıkartılıp Selim Paşa’nın huzuruna çıkartıldıktan sonra zorla bir iksir içirilerek kendisi için hazırlanmış kare şeklindeki arenanın içerisine atılır. Selim Paşa Belmonte’ye oynayacağı oyunu anlatmaya başlar:

– Nişanlın Konstanze bu kare arena içerisinde bir yerde uyuyor.

Belmonte etrafına bakar ancak Konstanze’yi göremez. Selim Paşa anlatmaya devam eder:

– Büyücümün hazırladığı özel bir iksir sayesinde Konstanze görünmez oldu ve sen ona dokunana kadar da görünmez kalacak ve uyuyor olacak. Sana içirdiğimiz iksir sayesinde sürekli bir yörüngede hareket etmek koşuluyla istediğin yönde istediğin kadar hızlı koşabilirsin. Amacın bu arena içerisinde koşarak Konstanze’yi bulmak. Koşman için sana 1 saniye vereceğim. Eğer 1 saniye içerisinde koşarken Konstanze’ye dokunabilirsen ikinizi de serbest bırakacağım. Eğer 1 saniyenin sonunda Konstanze’ye dokunamamış olursan kelleni vurduracağım. Ancak…

Belmonte oyunu kolaylıkla kazanacağını düşünür. Zira istediği kadar hızlı koşabilecektir ve arenanın köşesinden koşmaya başlayıp kollarını açarak 1 saniye içerisinde tüm alanı, aynen bir süpürgeyle yer siler gibi, kolayca tarayabilir.

Belmonte bunları düşünürken Selim Paşa büyücüsüne işaret verir ve büyücü bir şeyler fısıldamaya başlar. Fısıldamalar sona erdiğinde Belmonte birden noktasal bir parçacığa dönüştüğünü fark eder. Selim Paşa anlatmaya devam eder:

– Büyücüm az önce hem seni hem de Konstanze’yi noktasal parçacıklara dönüştürdü. Oyun boyunca da noktasal parçacıklar olarak kalacaksınız. Yani Konstanze’ye dokunabilmek için koştuğun rotanın tam olarak Konstanze’nin bulunduğu noktadan geçmesi gerekiyor.

Belmonte ne yapacağını şaşırır. Az önce yaptığı plan suya düşmüştür. Bu esnada Selim Paşa kahyalarından Osmin’e işaret verir ve Osmin gözlerini kapatır. Selim Paşa oyunun kurallarını anlatmaya devam eder:

– Osmin, oyun başladıktan sonra rastgele bir anda gözlerini anlık olarak açıp geri kapayacak. Eğer Osmin gözlerini açtığı anda hız vektörün sıfırdan farklıysa, oyun sonunda Konstanze’ye dokunmuş olsan bile oyunu kaybetmiş sayılacaksın ve kelleni vurduracağım.

Selim Paşa, oyunu Belmonte için kazanılması görünürde imkansız bir hale getirmiştir. Öğlen kellesini vurduracağını umduğu Belmonte’ye bıyık altından gülerken Belmonte’nin cebinden kalem kağıt çıkartıp bir şeyler karalamaya başladığını görür. “Ne karalıyorsun orada?” diye sorar. Belmonte kafasını hafifçe kaldırıp “Strateji geliştiriyorum sultanım” der. Kısa bir süre sonra elindeki kağıdı cebine koyar ve “Hazırım!” der.

Belmonte harekete başlamak istediği noktaya geçer, koşmaya başlar ve 1 saniyenin sonunda Osmin’e hareket eder bir vaziyette yakalanmadan Konstanze’ye dokunmayı becerir. Selim Paşa şok olmuş bir vaziyette büyücüsüne Belmonte ve Konstanze’yi eski büyüklüklerine getirmesini söyler. Daha sonra sözünü tutarak ikisini de serbest bırakır.

Belmonte ve Konstanze saraydan ayrılmak için hazırlanırken, Selim Paşa hala Belmonte’nin oyunu nasıl kazandığını anlamaya çalışmaktadır: Osmin gözlerini rastgele bir anda açmaya karar vermiştir. Muhafızlar ise Konstanze’yi arenada rastgele bir noktaya yerleştirmiştir. Belmonte’nin oyunu kazanması tamamen şans eseri olmalıdır.

Belmonte ve Konstanze saraydan ayrılmak üzereyken Selim Paşa yanlarına gelerek “Ülkenin en donanımlı bilginlerini sana kazanması imkansız bir oyun hazırlamaları için görevlendirdim. Osmin’e hareket eder vaziyette yakalanmadan Konstanze’yi bulabildiğine göre çok şanslı olmalısın.” der. Belmonte cevap verir “Şans değil”. Daha sonra stratejisinin yazdığı kağıdı cebinden çıkartıp Selim Paşa’ya verir ve Konstanze’yle birlikte uzaklara doğru yol alır.

Selim Paşa, Belmonte’nin stratejisini bilginlerine incelettiğinde o ana kadar sahip olduğu tüm matematiksel sezgilere aykırı bir sonuçla karşılaşır: Belmonte, Osmin’e yakalanmadan Konstanze’ye 1 olasılıkla kavuşmasını sağlayan bir strateji bulmuştur.

***

Hayır, yanlış okumadınız. Osmin gözlerini ne zaman açmaya karar verirse versin ve Konstanze arenanın neresinde olursa olsun, Belmonte’nin 1 olasılıkla Osmin’e yakalanmadan Konstanze’ye kavuşmasını sağlayan bir koşma stratejisi var. Bu yazıda bu stratejinin ne olduğunu göreceğiz.

Bulmacayı matematikselleştirmek

Yazının bu bölümünde yukarıdaki oyunu nasıl matematiksel bir çerçeveye oturtacağımızı göreceğiz.

Oyunun oynandığı kare arenayı kümesiyle temsil edebiliriz. Burada arenanın bir kenarının ne kadar uzun olduğu önemli değil zira arenanın bir kenarını birim uzunluk seçerek Belmonte’nin koşusunu buna göre ölçekleyebiliriz. Benzer şekilde oyun boyunca ilerleyen zaman eksenini kümesiyle temsil edebiliriz.

İçtiği iksirin kazandırdığı güçler sayesinde Belmonte’ye sürekli bir yörüngede hareket etmek koşuluyla istediği yönde istediği kadar hızlı gidebileceği söyleniyor. Dolayısıyla Belmonte’nin koştuğu rota  kümesinden  kümesine giden sürekli bir fonksiyonuyla tarif edilebilir. Tam tersi şekilde,  kümesinden  kümesine giden her sürekli

fonksiyonu için, Belmonte anında arena içerisindeki koordinatları olacak şekilde hareket edebilir. Bu fonksiyona Belmonte’nin pozisyon fonksiyonu diyelim.

Belmonte için bir strateji demek, ona hangi yörüngede koşması gerektiğini söyleyen sürekli bir pozisyon fonksiyonu demek. Amacımız öyle bir sürekli pozisyon fonksiyonu inşa etmek ki, Belmonte 1 olasılıkla Konstanze’ye kavuşsun.

Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta, eğer Belmonte pozisyon fonksiyonuna göre koşuyorsa, Belmonte’nin hız vektörünün, yani vektörünün, her için tanımlı olması gerekmediği. Yani Belmonte’nin pozisyon fonksiyonu her noktada türevlenebilir olmak zorunda değil. Tabii şunu da unutmamak lazım. Eğer Osmin Belmonte’yi hız vektörünün tanımsız olduğu -dolayısıyla sıfır vektörü olmadığı- bir anda yakalarsa Belmonte’nin kellesi uçacak!

Osmin olmasaydı

Belmonte’nin hayatta kalabilmesi için hem Konstanze’yi bulması hem de bunu yaparken Osmin’e yakalanmaması gerekiyor. Yazının bu bölümünde sadece ilk hedefe odaklanalım: Konstanze’yi bulmak.

Eğer Osmin olmasaydı ve Belmonte’nin amacı sadece 1 birim zamanda Konstanze’ye dokunmak olsaydı, Belmonte bunu garanti edecek bir strateji bulabilir miydi?

Soruyu daha matematiksel olarak ifade edelim.  kümesinden  kümesine öyle bir fonksiyonu var mıdır ki fonksiyonu sürekli olsun ve görüntüsü birim karenin tamamı olsun?

Başka bir deyişle, noktasal uçlu bir kalemle elimizi kaldırmadan birim karenin tamamını boyamak mümkün müdür? Bu görev ilk bakışta imkansız gözükebilir. Zira noktasal uca sahip bir kalemle iki boyutlu bir yüzeyi boyuyoruz ve elimizi kaldırmadığımız sürece ne yaparsak yapalım bir yerlerde boşluk kalacak, değil mi? Değil.

Her ne kadar sezgi karşıtı olsa da uzay dolduran eğri denen eğriler var. Bu eğriler tam olarak aradığımız şeyler:  kümesinden  kümesine örten ve sürekli fonksiyonlar.

Uzay dolduran eğrilerin tarihi 1890 yılında keşfedilen Peano eğrisine ve 1891 yılında keşfedilen Hilbert eğrisine kadar gidiyor. Öte yandan bu eğrilerin inşası çeşitli fonksiyon dizilerinin limitleri alınarak yapılıyor ve dolayısıyla geniş halk kitlelerine hitap eden basit tanımları yok. 1938 yılında Schoenberg tarafından şu makalede keşfedilen uzay dolduran eğrinin tanımıysa sanıyorum ki her calculus öğrenmiş genç tarafından kolayca anlaşılabilir. “Ben bu uzay dolduran eğrileri çok sevdim, bunlarla ilgili daha çok şey öğrenmek istiyorum.” diyorsanız da Space-Filling Curves kitabının pek çok örnek içerdiğini söylemeliyim.

Bu noktada geniş halk kitlelerinden iki cümlelik müsaade istiyorum dar halk kitlesi matematikçi komradlarıma seslenmek için. Yoldaşlarım, Hahn-Mazurkiewicz teoremi bir topolojik uzayın ne zaman  aralığının sürekli bir görüntüsü olarak yazılabileceğini karakterize ediyor. Kesin bilgi, yayalım.

Şimdi Belmonte’ye dönelim. Uzay dolduran eğriler var olduğuna göre, eğer Osmin olmasaydı, Belmonte pozisyon fonksiyonunu uzay dolduran bir  eğrisi seçerek koşusunun sonunda  kümesindeki her noktanın üzerinden geçmeyi garanti edebilirdi. Dolayısıyla, eğer Osmin olmasaydı, Konstanze nereye konursa konsun olsun Konstanze’ye kavuşabilirdi.

Osmin’i alt etmek

Birinci hedefimizi başarmak için bir yol bulduk: Pozisyon fonksiyonu olarak uzay dolduran eğriler kullanmak. Sıra ikinci hedefte: Osmin’i alt etmek.

Belmonte’nin rastgele bir uzay dolduran eğri kullanması, büyük ihtimalle Osmin tarafından enselenmesine neden olacak ve dolayısıyla kellesine mal olacaktır. Mesela Belmonte kullanacağı eğriyi Schoenberg’in eğrisi olarak seçsin. Şu makaleye göre Schoenberg’in eğrisi hiçbir yerde türevlenemez bir eğriymiş. Yani pozisyon fonksiyonumuzu bu sürekli eğri seçtiğimizde hiçbir noktada hız vektörünü yazamıyoruz çünkü tanımlı değil. Bu durumda Osmin gözlerini açtığı anda, hız vektörü olmadığı için, Belmonte oyunu kaybedecek. Demek ki Belmonte’nin biraz daha dikkatli olması gerekiyor.

Belmonte’nin ne yapması gerektiğini düşünelim. Öyle bir uzay dolduran  eğrisi bulmalı ki, Osmin’in gözlerini açmak için seçtiği anın

kümesinde olma olasılığı 0 olmalı. Burada olasılık kuramına aşina olmayan kitlelerce dikkat edilmesi gereken bir nokta var. Osmin’in gözlerini açmak için seçtiği anın bu kümede olma olasılığının sıfır olması bu kümenin boş olmasını gerektirmiyor. (Şuradaki ikinci paragrafı okuyabilirsiniz mesela.) Az sonra yapacağımız inşada bu küme boş olmayacak, hatta sayılamaz sonsuzlukta bir küme olacak.

Şeytan’ın merdiveni

Cantor kümesi (ve Cantor uzayı) şüphesiz ki her matematikçinin hayatının bir noktasında karşılaştığı, sahip olduğu topolojik ve ölçü kuramsal özellikler ile alınması gereken pek çok ibret barındıran bir kümedir. Nice yaman lisans öğrencisi nice analiz ve topoloji ödevinde Cantor kümesinin kanıtlamaya çalıştıkları önermeye karşı örnek oluşturduğunu günler sonra fark ederek matematik yolunda heba olmuştur.

Yazının bu bölümü için Cantor kümesinin ne olduğunu bilmenize gerek yok demek isterdim ama ne yazık ki gerek var. Dolayısıyla ilgili Wikipedia sayfası ya da Google’dan bulduğum şu sayfa vasıtasıyla Cantor kümesinin nasıl inşa edildiğini okumanız bu bölümde yapacaklarımızı anlamanızı kolaylaştıracaktır.

Cantor kümesi kullanılarak tanımlanan, kümesi üzerinde tanımlı Cantor fonksiyonu diye bir fonksiyon var. Kendisine Şeytan’ın merdiveni de deniyor. Kabaca şöyle gözüküyor:

Bu fonksiyonun grafiğine özyinelemeli olarak nasıl yakınsanabileceği şu .gif dosyasından izlenebilir.

Eğer bu fonksiyonun açıkça verilmiş bir tanımını görmek istiyorsanız da yukarıda bağlantıladığım Wikipedia sayfası ya da şu makale okunabilir.

Cantor fonksiyonunu  ile gösterelim.  fonksiyonu şu özellikleri sağlayan bir fonksiyon:

• sürekli, örten ve azalmayan bir fonksiyon.
• fonksiyonun türevi hemen her yerde sıfır. Daha açık olmak gerekirse, fonksiyonunun türevi Cantor kümesi dışındaki her noktada sıfır ve Cantor kümesindeki noktalarda da türevi tanımsız.
• Lebesgue ölçümü sıfır olan öyle bir kümesi bulunabilir ki  olur. Daha açık olmak gerekirse, Cantor kümesinin  altındaki görüntüsü  kümesine eşittir.

Yazının sonraki bölümünde bu özelliklerden ilk ikisini kullanarak Belmonte için bir strateji geliştireceğiz.

Büyük final: Saraydan imkansız kaçış

Uzay dolduran bir eğrisi alalım ve  Cantor fonksiyonunu belirtsin. Belmonte, pozisyon fonksiyonunu

fonksiyonu olarak seçsin. Bu durumda

• sürekli ve örten bir fonksiyon olacaktır. Yani  uzay dolduran bir eğri. Bunun nedeni iki fonksiyonun da sürekli ve örten olması.
• fonksiyonunun hemen her yerde türevi sıfır vektörü olacaktır. Bunun nedeni  fonksiyonunun Cantor kümesi dışında yerel olarak sabit olması ve dolayısıyla bileşke fonksiyonun da Cantor kümesi dışında yerel olarak sabit olması.

Belmonte  pozisyon fonksiyonuna göre koştuğunda ne olduğunu anlamaya çalışalım. Bu eğri uzay dolduran bir eğri olduğuna göre Belmonte koşusunun sonunda Konstanze’nin üzerinde bulunduğu noktadan geçmiş olacak. Diğer bir taraftan, Belmonte’nin Cantor kümesi dışında kalan her anında hız vektörü sıfır. Dolayısıyla Belmonte’nin Osmin tarafından enselenme olasılığı, Osmin’in gözünü açmaya karar verdiği anın Cantor kümesinde olma olasılığından küçük eşit. Ancak Cantor kümesinin Lebesgue ölçümü sıfır olduğu için, bu olasılık sıfır. Demek ki, Belmonte  stratejisine göre koşarsa 1 olasılıkla Osmin’e yakalanmadan Konstanze’ye kavuşabiliyor. .

Yazıyı noktalarken, Belmonte yukarıdaki pozisyon fonksiyonuna göre hareket ettiği zaman ne olduğunu tekrar yorumlamaya çalışalım. Belmonte, içerisinde bulunduğu an Cantor kümesinde olmadığı sürece o an üzerinde bulunduğu noktada bekliyor. Dolayısıyla Belmonte’nin hemen her an durduğunu söyleyebiliriz. Öte yandan, Belmonte’nin pozisyon fonksiyonu uzay dolduran bir eğri olduğuna göre Belmonte koşusunun sonunda arenadaki her noktadan geçmiş oluyor.

Demek ki, Belmonte az önce gözümüzün önünde hemen hiçbir an hareket etmeden her yeri dolaştı. Sizi bilemem ama bir önceki cümleyi her okuduğumda şöyle oluyorum.

C.N.