[S. 1] Büyülü metinler, İborotti ve sayı dizileri üzerinde yürümek

…arkadaşım daha sonra bilgisayarında Led Zeppelin‘in ünlü şarkısı Stairway to Heaven‘ı tersten çalarak şarkıya ters maskeleme yoluya gömülen gizli mesajlardan birkaçını dinletti. Jimmy Page‘in Aleister Crowley hayranlığı zaten bilinen bir şey. Bu yüzden anlattıkları anlamsız gelmiyor, tam aksine zihnimde parçalar yerine oturuyordu.

“Sana bu şarkının sözlerinin alelade yazılmış olmaktan ne kadar uzak olduğunu ve nasıl her kelimenin muntazam bir şekilde seçildiğini göstereyim” dedi. Sonra şarkının sözlerini açtık.

There’s a lady who’s sure all that glitters is gold
And she’s buying a stairway to heaven.
When she gets there she knows, if the stores are all closed
With a word she can get what she came for.
Ooh, ooh, and she’s buying a stairway to heaven.

There’s a sign on the wall but she wants to be sure
‘Cause you know sometimes words have two meanings.
In a tree by the brook, there’s a songbird who sings,
Sometimes all of our thoughts are misgiven.

Ooh, it makes me wonder,
Ooh, it makes me wonder.

There’s a feeling I get when I look to the west,
And my spirit is crying for leaving.
In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees,
And the voices of those who stand looking.

Ooh, it makes me wonder,
Ooh, it really makes me wonder.

And it’s whispered that soon, if we all call the tune,
Then the piper will lead us to reason.
And a new day will dawn for those who stand long,
And the forests will echo with laughter.

If there’s a bustle in your hedgerow, don’t be alarmed now,
It’s just a spring clean for the May queen.
Yes, there are two paths you can go by, but in the long run
There’s still time to change the road you’re on.
And it makes me wonder.

Your head is humming and it won’t go, in case you don’t know,
The piper’s calling you to join him,
Dear lady, can you hear the wind blow, and did you know
Your stairway lies on the whispering wind?

And as we wind on down the road
Our shadows taller than our soul.
There walks a lady we all know
Who shines white light and wants to show
How everything still turns to gold.
And if you listen very hard
The tune will come to you at last.
When all are one and one is all
To be a rock and not to roll.

And she’s buying a stairway to heaven.

“İlk beş mısradan rastgele bir kelime seç” dedi. Ben de glitters kelimesini seçtim. “Şarkının sözlerinde seçtiğin kelimeden itibaren seçtiğin kelimedeki harf sayısı kadar ilerle” dedi. “Daha sonra yeni ulaştığın kelime her ne ise, bu işlemi ulaştığın yeni kelime ile tekrarla, ta ki şarkının sözleri bitip ilerleyecek yeni bir kelime bulamayana kadar.”

Glitters kelimesi 8 harfli, 8 kelime ilerleyince eriştiğim kelime to. To kelimesi 2 harfli, 2 kelime ilerleyince eriştiğim kelime when. When kelimesi 4 harfli, 4 kelime ilerleyince eriştiğim kelime she… Bu şekilde şarkının sözlerinde ilerlemeye devam ettim. En son basamakta -şarkıda ilerleyecek daha fazla kelime bulamadığımda- erişmiş olduğum son kelimenin ne olduğunu sordu. “Stairway” dedim.

“Şimdi ilk beş mısradan başka bir kelime seç” dedi. Heaven kelimesini seçtim. Aynı işlemi tekrarlayınca en son hangi kelimeye eriştiğimi sordu. Gene stairway kelimesinde kalmıştım. Başka kelimelerle bu süreci tekrarlamamı istedi. Ne seçersem seçeyim üzerinde olduğum kelimenin harf sayısı kadar ilerleyip bu süreci tekrarladığımda şarkının sonuna geldiğimde stairway kelimesinde duruyordum. Şarkı sözlerindeki 341 kelime arasından ilk 335 kelimenin hangisiyle başlarsam başlayayım en sonda stairway sözcüğüne erişiyordum.

“Sence böyle muntazam bir düzenin kendi kendine oluşmuş olma olasılığı var mı?” dedi. “Bu yaptığımız deney, şarkının sözlerinde kullanılan kelimelerin özel olarak seçildiğini göstermiyor mu?”. Az önce dinlettiği ters maskelemeyle verildiği iddia edilen mesajların gerçek olduğuna ve şarkının sözlerinin şifreler barındırdığına artık ikna olmak üzereydim. Şarkının içine gizlenmiş şifreli “merdiven” acaba nereye yükseliyordu? Belki de bu şifreler çözüldüğünde bana -sadece arayanların bulması gereken- çok gizli ezoterik öğretilerin kapılarını açacaktı.

“Sadece bu şarkıda değil, diğer şarkılarında da benzer şeyler var” dedi. Çekmeceye Led Zeppelin III albümünü almak için uzandım. Bir yandan arkadaşımla konuşurken bir yandan CD’yi bilgisayara taktım. Bilgisayar müziği çalmaya başladığında çekmeceden yanlış CD’yi aldığımı fark ettim. Led Zeppelin değil, İborotti çalıyordu. Dam üstünde un eleyen tombul tombul memeleri dinliyorduk. Şarkının (orijinal) sözlerini açtım. İborotti’nin nesi eksik?!

Dam üstünde un eler
Tombul tombul memeler
Zalım oy gelin zalım zalım zalım
Memeler baş kaldırmış
Kavuşmuyor düğmeler
Zalım oy gelin zalım zalım zalım

Gökte yıldız ellidir
Ellisi de bellidir
Zalım oy gelin zalım zalım zalım
Sevilecek güzeller
Gülüşünden bellidir
Zalım oy gelin zalım zalım zalım

Bu yol Harput’un yolu
Hem kar yağar hem dolu
Zalım oy gelin zalım zalım zalım
Ben burada yar sevmem
Her yanım düşman dolu
Zalım oy gelin zalım zalım zalım

Yukarıdaki işlemin aynısını birkaç farklı kelime ile başlayarak yaptığımda bu sefer sürekli karşıma gelin kelimesi çıkıyordu. Acaba İborotti de bize subliminal mesaj mı vermeye çalışıyordu? Arkadaşıma durumdan bahsettim. Şaşırdı, cevap veremedi. Hatta cevab da veremedi. Çok geçmeden İborotti’nin de Jimmy ile kapalı kapılar arkasından dünyayı yöneten aynı gizli tarikata üye olduğuna kanaat getirdi.

Bir anda pencereden içeriye pelerinli bir adam girdi. Suratına bakınca hemen tanıdım, gelen Martin Kruskal‘dı. Güç ile bir olmuş ve Güç hayaleti olarak evimize teşrif etmişti. “Gençler Güç’te bir dalgalanma sezdim, sanırım yeni bir goygoya adım atmak üzeresiniz” dedi. Durumu anlattık. Gözlemlediğimiz fenomeni açıklamak için elimizdeki mevcut kuram olan İborotti ve Jimmy ikilisinin üyesi olduğu gizli tarikatten bahsedince bize Force Lightning kullanarak hışımla saldırdı. Daha sonra da pencereden uçarak gitti.

Sayı dizileri üzerinde yürümek

Elektriği yiyince nöronlarımın çalışmaya başladığını hissettim. Gözlemlediğim fenomen hakkında düşünmeye başladım. Şarkı sözleri üzerinde ilerlerken bir sonraki adımda hangi kelimeye ilerleyeceğimizi tek belirleyen şey üzerinde bulunduğumuz kelimenin harf sayısıydı. Demek ki, şarkının sözlerini kullanmak yerine sözlerdeki kelimelerin harf sayılarını temsil eden

(6, 1, 4, 4, 4, 3, 4, 8, 2, 4, 3, 4, 6, \dots, 1, 8, 2, 6)

dizisini de kullanabilirdim. Yaptığım şeyse, bu dizinin -ilk beş mısradaki kelimelerine denk gelen- ilk 48 elemanından rastgele bir sayıyı seçip, dizi üzerinde sağa doğru o sayı kadar ilerledikten sonra bu işlemi tekrarlamaktı. Peki, nasıl oluyordu da ilerleyecek kelime kalmadığı zaman en son üzerinde bulunduğum kelime hep aynı oluyordu? Üstelik farklı sayı dizilerini -yani farklı şarkı sözlerini- seçtiğim zaman bir şey değişmiyordu.

Aşikarın farkına varmak

Elimizde elemanları pozitif tam sayılar olan sonlu bir sayı dizisi olsun. İki kişi bu sayı dizisinin iki farklı elemanından başlayarak şu işlemi yerine getirmek suretiyle sayı dizisi üzerinde soldan sağa doğru yürümeye başlasınlar:

  • Üzerinde bulunduğumuz sayının değeri k olmak üzere, eğer dizide bulunduğumuz indisten itibaren k tane daha eleman mevcutsa, dizi üzerinde k adım ilerle ve bu işlemi tekrar et. Aksi halde dur.

Şimdi tüm herşeyi açıklığa kavuşturacak basit bir gerçeğin farkına vararak aydınlanma yaşıyoruz.

Sav: Eğer iki kişi yürüyüşleri boyunca herhangi bir anda aynı sayının üzerine basarlarsa, o andan itibaren sürekli aynı sayılara basacaklardır.
Kanıt: Aşikar. \square 

Demek ki iki farklı kişinin dizinin sonunda adam atacak yer bulamadıkları anda aynı sayı üzerinde bulunuyor olmaları için yeterli koşul bir noktada aynı sayı üzerinde bulunmaları. Öte yandan bu her zaman mümkün olmayabilir. Mesela İborotti ve Jimmy

(1, 2, 3, 4, \dots, 50)

dizisi üzerinde sırasıyla 2 ve 3 sayıları üzerinden yürümeye başlarlarsa, İborotti 32 sayısına, Jimmy ise 48  sayısına geldikleri zaman duracaklar. Demek ki yukarıda karşılaştığımız fenomen her sayı dizisi için gerçekleşmek zorunda değil. Öte yandan, bu örnekteki sayı dizisi gözlemlediğimiz fenomen gerçekleşmesin diye özellikle tasarlanmış bir sayı dizisi.

Şarkı sözlerinden elde edeceğimiz sayı dizileri genelde yukarıdaki gibi bir davranış sergilemeyecekler. Öncelikle, dillerde kullanılan kelimelerin uzunlukları üstten sınırlı. Yani bir şarkı sözü -ya da herhangi bir kitap- aldığınızda ve buna karşılık gelen sayı dizisini oluşturduğunuzda karşılaşacabileceğiniz sayıların bir üst sınırı var. Kolaylık olsun diye kullandığımız metinlerde 20 harften uzun bir kelime olmadığını varsayalım. Şimdi elemanları \{1,2,3,\dots,20\} kümesinden olan rastgele bir sayı dizisi yazalım.

(5, 3, 1, 3, 7, 5, 11, 2, 9, 12, 13, 13, 1, 18, 4, 5,  \dots)

Bu sayı dizisini 20 uzunluğunda ardışık bloklara bölelim. İlk bloktan rastgele bir eleman seçip dizi üzerinde ilgili yürüme işlemini gerçekleştirdiğimizi varsayalım. Ne gözlemleyeceğiz?

Her adımda ya içerisinde bulunduğumuz blok içerisinde kalacağız ya da bir sonraki bloğa geçeceğiz, zira adımlarımız en fazla 20 uzunluğunda olabilir. Demek ki bir yürüyüşçünün yörüngesine baktığımızda her blok içerisinde en az bir sayıya bastığını görüyoruz.

Eğer yürüyüşçülerin her blokta bastıkları sayıların blok içerisindeki yerleri düzgün dağılımla rastgele seçiliyor olsaydı, bu durumda yürüyüşçülerin verilen bir blok içerisinde aynı yere basma olasılıkları pozitif olacağından, elimizde ne kadar çok blok olursa, yürüyüşçülerin en az bir blok içerisinde aynı yere basma olasılıklarının o kadar fazla olduğunu söyleyecektik. Öte yandan, yürüyüşçülerin bloklar içerisinde bastıkları yerler rastgele seçilmiyor, daha önceki adımda üzerinde bulunulan sayılara bağlı.

Bununla birlikte, ilgili matematiksel hesabı yaptığınızda karşınıza çıkan şey şu olacak. Elemanları rastgele seçilmiş bir dizide, yürüyüşçüler yürüyüşlerine ilk bloktaki herhangi bir sayıdan başlamak üzere, blok sayısı arttıkça yürüyüşçülerin yörüngelerinin bir noktada kesişme olasılığı artacak. Daha önce farkına vardığımız aşikar gözlemin bir sonucu olarak da, yürüyüşçülerin yörüngeleri kesiştikleri andan itibaren aynı olmak zorunda.

Yukarıda gözlemlediğimiz fenomen aslında bundan ibaret. Kullanılabilecek kelime uzunluklarının kısıtlı olduğu uzun bir metinde, birbirine yakın başlangıç pozisyonlarından, belirtilen kurala göre yürümeye başlayan iki kişi -yüksek bir ihtimalle- bir noktadan sonra aynı kelimelere basmaya başlayacaklar.

Tekrar belirtme gereği duyuyorum, bu her zaman gerçekleşmek zorunda değil. Bu fenomenin gerçekleşmediği bir metin kolayca yazılabilir. Öte yandan, yeterince uzun rastgele bir metin aldığınızda bu fenomenin gerçekleşme olasılığı çok yüksek olacak.

Kruskal kart oyunu

Martin Kruskal efendi bu fenomen üzerinden bir “olasılıksal sihirbazlık” icat etmiş: Kruskal kart sayma oyunu. Verilen bağlantıdaki oyunu oynarsanız göreceksiniz ki ilk satırdan hangi kartı seçerseniz seçin yüksek ihtimalle -yaklaşık olarak 0.95 ihtimalle- en son adımınızı işaretlenen kağıda atacaksınız. Kruskal kart sayma oyunuyla ilgili matematiksel hesapların  yapıldığı bir makale görmek isterseniz şu arXiv makalesine bakılabilir. İlgili olarak şuradaki AMS yazısı da okunabilir.

C.N.

Reklamlar

[S. 1] Büyülü metinler, İborotti ve sayı dizileri üzerinde yürümek” üzerine 2 düşünce

  1. Burada bahsi gecen process aslinda sadece bir kumarbaz hilesi degil, aslinda muhendislikte cok genis bir kullanim alani olan markov processlerin bir uygulamasi.

    Markov processler kabaca hafizasi olmayan processler olarak ozetlenebilir, yani bir sonraki adimda ne yapacagin o anki durumundan baska hicbirseye bagli olmayan processler. Tipki bizim kelime atlamaca oyununda oldugu gibi. Bir sonraki gidecegin yeri sadece o anda oldugun yer belirliyor.

    Markov processlerin daha genel bir durumunda bulundugun yerden hangi yere gitme ihtimaline iliskin bir olasilik tanimlanmistir. daha acik olmak gerekir ise “a1, a2, a3, … an” serisinde her ai icin aj lerin olasiliklari tanimlanmistir. Ornegin bizim ornekteki “6, 1, 4, 4, 4, 3, 4, 8, 2, 4, 3, 4, 6, …, 1, 8, 2, 6” serisinde 3. terim olan 4 un olasilik dagilimi 0,0,0,0,0,0,1,0..0 seklinde. eger bu dagilim 0.1, 0.2, 0.4, 0, 0, …0,0.3 seklinde olsa idi (rakamlar bir sonraki adimda ilgili noktaya gitmenin olasilik dagilimi veriyor olsun) daha genel bir markov processden bahsediyor olurduk. Ve bu daha genel durumda kurallari takip ederek ilerleyen bir agent in en son adimda nerede olacagini soylemek yerine, yeterince adim sonra her hangi bir yerde olma olasiligini hesaplayabilirdik.

    Simdi hikayeyi biraz daha somutlastiralim. a1, a2 .. an farkli web siteleri olsun. Ornegin a3 olarak isimlendirdigimiz web sitesinde 3 tane link olsun 2 si a5 e ve bir de a1 e giden. Bu durumda a3 un olasilik dagilimi “0.3, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0, 0…” seklinde yazilabilir, her ai icin bu dagilimi bildigimizi var sayalim. Kelime atlamaca oyununda olduguna benzer bir yontem ile bu siteler icinde gezen bir elemanin (agent) yeterince dolastiktan sonra her hangi bir sitede gorulme olasiligini hesaplayabiliriz. Eger bir arama motoru yaziyor isek sonuclari filiteledikten sonra bu olasilik dagilimina gore siralayabiliriz, eger yeterince sansli isek bunun biraz yandan yemisi ile S. Brin ya da L. Page olabiliriz.

    http://langvillea.people.cofc.edu/MCapps7.pdf (6 nolu madde)

    haydi hayirli traslar. (anlamsiz komikli son)

    Beğen

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s