[GM. 0] Normal gerçel sayılar

GM serisinin bu ilk yazısında bilumum dizilerde ve filmlerde çeşitli efsanelere konu olan “içerisinde yazılabilecek her türlü sonlu sayısını dizisini barındıran” normal sayıları inceleyeceğiz.

Gerçel sayıların çeşitli tabanlarda gösterimleri

Çeşitli tarihi sebeplerle bugün gerçel sayıları ifade ederken \{0,1,2,\dots,9\} sembolleriyle onluk taban kullanıyoruz. Öte yandan kullandığımız sayı tabanını her zaman değiştirebiliriz. Mesela \{0,1,2\} sembolleriyle çalışıp üçlük taban kullanabiliriz. Bu durumda, lafın gelişi, \pi sayısı 10.010211012 \dots şeklinde ifade edilecektir.

Genel olarak, b \geq 2 olmak üzere, herhangi bir r pozitif gerçel sayısını s bir doğal sayı ve 0 \leq r_i < b tam sayılar olmak üzere

 r = s + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r_i}{b^n}

olarak ifade edebiliriz. Bu durumda

s.r_0 r_1 r_2 \dots

ifadesine r sayısının b -tabanında gösterimi diyelim. Negatif bir gerçel sayının b -tabanındaki temsilini de o sayının mutlak değerinin b -tabanındaki temsilinin önüne eksi işareti koyarak yapabiliriz.

Tabii bazı sayılar birden çok gösterime sahip olabilir. Mesela bir bölü üç sayısını üçlük sistemde 0.1000 \dots ya da 0.0222\dots olarak ifade edebiliriz. Benzer şekilde 1  sayısını onluk sistemde 1.000 \dots yerine 0.999 \dots olarak ifade edebiliriz.

Öte yandan bir gerçel sayının bir b -tabanında birden çok açılımı varsa, bu gerçel sayı en fazla iki açılıma sahiptir ve bu açılımlardan birisi bir noktadan sonra tamamen 0 olurken diğeri de bir noktadan sonra tamamen b-1 olacaktır. Bunun kısa bir kanıtına şuradaki math.stackexchange sorusundan erişilebilir. Daha sonrası için belirtmekte fayda görüyorum, aşağıda yapacağımız b-tabanında normallik tanımı için birden çok açılıma sahip sayıların hangi açılımını kullandığımız önemli olmayacak çünkü böyle sayılar zaten iki açılımlarına göre de b-tabanına göre normal olmayacaklar.

Gerçel sayıların gösterimlerine bilgi kodlamak

Belirli bir taban sabitleyelim. Alışkanlıklarımız gereği şimdilik on tabanını kullanalım. Şimdi \{0,1,2,\dots,9\} kümesinden sembollerle yazılabilecek olası her sonlu diziden oluşan kümeyi düşünün. Bu kümeye W_{10} diyelim.

W_{10} kümesi sayılabilir sonsuzluktadır. Dolayısıyla bu kümenin elemanlarını doğal sayılarla numaralandırarak listeleyebiliriz. Mesela bu kümedeki dizileri önce uzunluklarına göre, aynı uzunluktaki dizileri de kendi içerisinde “alfabetik” olarak listelersek karşımıza şöyle bir liste çıkacak.

0, 1, 2, 3, \dots, 9, 00, 01, \dots, 09, 10, 11, \dots, 19, 20, 21, \dots , 29, \dots, 39, \dots, 99, 000, 001, \dots

Burada “alfabetik” listeleme yapılırken karşılaştırmayı soldan yapıyoruz ve 0 sembolünün 1  sembolünden önce geldiği, 1 sembolünün 2 sembolünden önce geldiği, … varsayılıyor.

Şimdi basit bir soru soralım. Onluk sistemdeki gösterimi W_{10} kümesindeki her elemanı en az bir kere barındıran bir gerçel sayı var mıdır? Tabii ki.

0.012345678900010203040506070809101112131415 \dots

Yukarıda listelediğimiz tüm dizileri uçuca eklersek elde ettiğimiz sonsuz dizi bir r gerçel sayısının on tabanındaki gösterimi olmak zorunda. İnşası gereği r sayısının onluk tabandaki gösterimi \{0,1,2,\dots,9\} sembolleri ile yazılabilecek her sonlu diziyi içeriyor.

Demek ki buram buram mistisizm kokan çeşitli şehir efsanelerinde başrol oynayan “yazılabilecek olası tüm sayı kombinasyonlarını içermek” özelliği o kadar da ahım şahım bir özellikle değilmiş. Maharet olası tüm sayı kombinasyonlarını en az bir kere içermekte değil, bunu sonsuz kere ve eş dağılımlı olarak yapabilmekte. Eş dağılımın ne anlama geldiğini az sonra göreceğiz.

Daha zor bir soru

Yukarıdaki soru çok kolay oldu. Soruyu biraz daha zorlaştıralım. Öyle bir r gerçel sayısı bulabilir miyiz ki r sayısının onluk tabandaki gösterimi W_{10} kümesindeki her elemanı sonsuz defa içersin? Biraz düşünürseniz aslında yukarıda inşa ettiğimiz r gerçel sayısının bu özelliği sağladığını görebilirsiniz.

W_{10} kümesinin her elemanı oluşturduğumuz liste içerisinde sonsuz kere gözüküyor. Zira her sonlu dizi kendisinden daha uzun sonsuz tane sonlu dizinin alt dizisi olduğuna göre, tüm sonlu dizilerin r sayısının ondalık açılımında sonsuz kere gözüktüğü kanıtlanabilir. Mesela 01 dizisini 101, 201, \dots 901, 1001, 2001, \dots, 9001, \dots dizilerinin bir alt dizisi olarak liste içerisinde sonsuz kere göreceğiz. Demek ki daha zor gözüken bu soru da aslında o kadar zor değilmiş.

Şimdi soruyu iyice zorlaştıralım. Öyle bir r  gerçel sayısı bulabilir miyiz ki W_{10} kümesindeki her dizi r sayısının onluk tabandaki gösteriminde “dizi uzunluğuna göre eşit frekansta” gözüksün. Bu noktada “dizi uzunluğuna göre eşit frekans” ile ne kastettiğimi biraz açmam lazım.

f_r(w,n) fonksiyonu bize r  sayısının onluk tabanda gösteriminin ilk n  basamağı içerisinde w dizisi ile bir alt dizi olarak kaç kere karşılaştığımızı versin. Mesela yukarıda inşa ettiğimiz r sayısı için f_r(12,10)=1 olacaktır çünkü ilk on terim içerisinde 12 dizisi ile sadece bir kere karşılaşıyoruz. Dizi uzunluğuna göre eşit frekans ile kastettiğimiz şey de şu:

  • \{0,1,2,\dots,9\} kümesindeki her w elemanı için \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f_r(w,n)}{n} = \frac{1}{10} olsun.
  • \{00,01,02,\dots,10,11,\dots,90,\dots,99\} kümesindeki her w elemanı için \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f_r(w,n)}{n} = \frac{1}{100}  olsun.
  • Genel olarak, sembolleri \{0,1,2,\dots,9\} kümesinden seçilen k uzunluğundaki her w dizisi için \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{f_r(w,n)}{n} = \frac{1}{10^k}  olsun. Yani sembolleri işbu küme içerisinden seçilerek oluşturulmuş her sonlu dizi, r sayısının ondalık açılımı içerisinde aynı uzunluğa sahip olan diğer sonlu dizilerle eşit frekansta gözüksün.

Eğer bir r gerçel sayısı bu özelliği sağlıyorsa, bu durumda r sayısına 10-tabanında normal sayı denir. On tabanında normal bir sayı örneği var mıdır? Şaşırtıcı ama tüm pozitif doğal sayıları on tabanında yazdıktan sonra art arda listeleyerek oluşturacağınız

0.12345678910111213141516171819 \dots

sayısı, ki kendisi Champernowne sabiti olarak bilinir, on tabanında normaldir. Şimdi biraz daha fantastik bir örnek görelim. Tüm asal sayıları on tabanında yazdıktan sonra art arda listeleyerek oluşturacağınız

0.235711131719 \dots

sayısı, ki kendisi Copeland-Erdös sabiti olarak bilinir, on tabanında normaldir.

Normal sayı nedir?

Yazının önceki bölümünde bir sayının on tabanında normal olmasının ne demek olduğunu tanımladık. Öte yandan yaptığımız tüm tanımları b \geq 2 olmak üzere başka bir b sayı tabanı için de yapabilirdik. Böylece b -tabanında normal olmaktan bahsedebilirdik. Tanımların b-tabanına nasıl genelleceği okuyucuya egzersiz olsun.

Eğer bir r gerçel sayısı her b \geq 2 tam sayısı için b -tabanında normalse, o sayıya normal sayı diyoruz.

Rasyonel sayıların bir tabana göre açılımları bir noktadan sonra ya tamamen sıfır olacağından ya da kendini periyodik olarak tekrarlayan sonlu bir diziden oluşacağından dolayı, rasyonel sayılar normal olamaz. Buradaki ilk iddianın on tabanı için kanıtı şurada var, diğer tabanlar için kanıt da benzer biçimde yapılabilir. Demek ki, eğer normal gerçel sayılar varsa, irrasyonel olmak zorundalar.

Peki irrasyonel olup da normal olmayan bir sayı bulabilir miyiz? Tabii ki. Mesela onluk tabandaki gösterimi

0.101001000100001000001 \dots

olan gerçel sayı -bırakın normal olmayı- on tabanında bile normal bir sayı değil. Zira onluk tabandaki açılımı içerisinde, mesela, 2 dizisini barındırmıyor. Benzer bir şekilde, onluk tabanda basamakları 9 rakamını içermeyen hiçbir sayı normal olamaz.

Az önce bir yığın normal olmayan sayı örneği gördük! Peki normal bir sayı örneği gösterebilir miyiz? Mesela yukarıda iki tane sabitten söz ettik ve ikisi de on tabanında normaldi. Peki bu sabitler diğer tabanlarda normal mi? Yani bu sayıları, lafın gelişi, 17-tabanında yazmaya kalksam ilgili alfabede yazılan her sonlu diziyi sayının 17-tabanındaki gösteriminde beklenen frekansta görecek miyim? Bu soruların cevabı bilinmiyor.

Bir sayının normal olduğunu göstermek zor bir iş. Elimizdeki örneklerin hepsi belirli tabanlar için özel olarak tasarlanmış yapay örnekler. Peki hiç mi normal sayı yok?

Endişe etmeyin, normal sayılar var. Mesela Chaitin sabitinin normal olduğu biliniyor. Öte yandan Chaitin sabiti, Turing makinelerinin durma olasılıkları üzerinden tanımlanabilse de, hesaplanamaz bir sayı olduğu için “bana basamaklarını listele” derseniz bunu algoritmik bir biçimde yapmak imkansız. Eğer hesaplanabilir bir normal sayı görmek isterseniz şu makale okunabilir. Makalenin dergide basılmış haline erişiminiz yoksa preprint haline şuradan da erişilebilir.

Normal sayılar her yerde

Normal sayıların var olduğunu gördük. Peki “ne kadar” normal sayı var? Normal sayılar kümesi sayılamaz sonsuzlukta, hatta tam olarak gerçel sayılarla aynı büyüklükte. Yani ne kadar gerçel sayı varsa o kadar normal sayı var. Eğer sayılamaz sonsuzlukta kümelere biraz haşır neşirseniz bunun o kadar da şaşırtıcı bir şey olmadığını fark etmeniz işten bile değil. Şimdi daha şaşırtıcı bir teoremi görelim.

Teorem (Émile Borel): Normal olmayan sayıların Lebesgue ölçümü sıfırdır.

Bu gönderi [GM.] kategorisinde olduğundan dolayı Lebesgue ölçümünün ne olduğunu tanımlamaya girişmeyeceğim. Öte yandan sezgisel olarak fikir vermesi açısından Lebesgue ölçümüyle ilgili birkaç kelam etmek istiyorum. Lebesgue ölçümü bize gerçel sayıların (ölçülebilir denen özel) alt kümelerinin ne kadar “uzun” olduğunu söyleyen bir ölçüm. Kısaca Lebesgue ölçümünü sezgisel olarak tek boyutta sahip olduğumuz “uzunluk” kavramının bir genellemesi olarak düşünebilirsiniz. Tabii sadece (a,b) formundaki aralıkların değil gerçel sayıların pek çok alt kümesinin “uzunluğunu” ölçmeye çalışıyoruz. Bu noktada Lebesgue ölçümüyle ilgili yazmayı bırakıp yukarıdaki teoremin çok ilginç bir sonucundan bahsedeyim.

Noktasal uçlu bir dart ile sayı avlamak

[0,1] aralığındaki her sayıyı, eğer sayı normalse kırmızıya, normal değilse maviye boyayalım. Şimdi sonsuz incelikte noktasal bir uca sahip bir dartı [0,1] aralığına fırlatalım. Dartın kırmızı bir noktaya isabet etme olasılığı kaçtır?

Borel’in yukarıda alıntıladığım teoreminin bir sonucu olarak bu sorunun cevabı 1 . Evet, yanlış duymadınız, eğer dartı rastgele fırlatıyorsanız -yani dartın bu aralıktaki noktalara çarpma olasılığını veren dağılım düzgünse- dartın normal olmayan bir sayıya isabet olma olasılığı 0 . Tabii ki şunu unutmamakta fayda var, sürekli bir olasılık dağılımından bahsettiğimiz için bir olayın olasılığının 0 olması o olayın olmayacağı anlamına gelmiyor.

Normal olmayan bir yığın sayı var. Hatta normal olmayan sayılar kümesinin büyüklüğü ile normal olan sayılar kümesinin büyüklükleri küme kuramı perspektifinden  bakıldığında aynı -ikisi de gerçel sayılar kümesiyle aynı kardinalitede. Öte yandan normal ve normal olmayan ikilemine ölçüm kuramı açısından yaklaştığımızda, normal sayılar kümesi normal olmayan sayılar kümesinden daha büyük ölçüme sahip. “Hemen hemen her sayı” normal bir sayı.

Demek ki, ölçüm kuramı perspektiften bakıldığında, asıl anormal olan normal olmamak. Bu noktada matematikçilerin içerisinde bulunduğu absürt bir durumu vurgulamakta fayda görüyorum. Hemen hemen her sayının normal olduğunu biliyoruz, yani dartımızı nereye atsak normal bir sayıya denk gelmemiz lazım. Ancak spesifik olarak normal olduğunu kanıtlayabildiğimiz fazla sayı yok. \pi, e, \dots gibi önemli sayıların normal olduğu düşünülüyor, ancak bunların hiçbirinin normal olduğu kanıtlanmış değil.

C.N.

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s